Direkte Summe - Unterräume (2)

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Opher19782808 Auf diesen Beitrag antworten »
Direkte Summe - Unterräume (2)
Meine Frage:
Sei K ein Koerper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und seien
U1 und U2 V Unterraeume. Zeigen Sie die Aequivalenz der folgenden Aussagen:
(a) U1 U2 = V .
(b) U1 + U2 = V und dim(U1) + dim(U2) = dim(V).
(c) U1 U2 = 0 und dim(U1) + dim(U2) = dim(V).



Meine Ideen:

Ringschluss:
(a) => (c):
Nach Proposition ist U1 U2 = 0 und damit ist Dim (U1 U2) = 0, also nach Dimensionsformel dim(U1) + dim(U2) = dim(V).
(b) => (a):
Nach Definition der direkten Summe, ist U1 U2 = V , da
U1 + U2 = V und dim(U1) + dim(U2) = dim(V), also Dim (U1 U2) = 0. Weil der Schnitt von Unterräumen nicht leer ist, ist aber min. ein Punkt im Schnitt. Dieser muss der Nullpunkt sein, weil 0 Teil des Unterraums sein muss.
(c) => (b):
Da nach Angabe U1 und U2 V Unterraeume, ist U1+U2=V.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist schwierig, hierzu etwas zu sagen. Wie ist die direkte Summe definiert ? Wie beweist du die Dimensionsformel ? Mit diesen Voraussetzungen könntest du die Beweise etwas ausführlicher gestalten, so dass sie nachvollziehbar werden.
Opher19782808 Auf diesen Beitrag antworten »

Direkte Summe: Äussere Summe der Unterräume wobei der Schnitt der Unterräume genau den Ursprung enthält.
Bei (b) auf (c) ist die Dimensionsformel ja Voraussetzung und zu zeigen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"Ursprung" klingt geometrisch. So kann das im allgemeinen nicht definiert sein. Deine Ausführungen genügen nicht den allgemeinen Anforderungen an einen Beweis.
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