Direkte Summe - Unterräume (2) |
04.01.2018, 22:06 | Opher19782808 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Direkte Summe - Unterräume (2) Sei K ein Koerper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und seien U1 und U2 V Unterraeume. Zeigen Sie die Aequivalenz der folgenden Aussagen: (a) U1 U2 = V . (b) U1 + U2 = V und dim(U1) + dim(U2) = dim(V). (c) U1 U2 = 0 und dim(U1) + dim(U2) = dim(V). Meine Ideen: Ringschluss: (a) => (c): Nach Proposition ist U1 U2 = 0 und damit ist Dim (U1 U2) = 0, also nach Dimensionsformel dim(U1) + dim(U2) = dim(V). (b) => (a): Nach Definition der direkten Summe, ist U1 U2 = V , da U1 + U2 = V und dim(U1) + dim(U2) = dim(V), also Dim (U1 U2) = 0. Weil der Schnitt von Unterräumen nicht leer ist, ist aber min. ein Punkt im Schnitt. Dieser muss der Nullpunkt sein, weil 0 Teil des Unterraums sein muss. (c) => (b): Da nach Angabe U1 und U2 V Unterraeume, ist U1+U2=V. |
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05.01.2018, 09:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es ist schwierig, hierzu etwas zu sagen. Wie ist die direkte Summe definiert ? Wie beweist du die Dimensionsformel ? Mit diesen Voraussetzungen könntest du die Beweise etwas ausführlicher gestalten, so dass sie nachvollziehbar werden. |
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06.01.2018, 14:48 | Opher19782808 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Direkte Summe: Äussere Summe der Unterräume wobei der Schnitt der Unterräume genau den Ursprung enthält. Bei (b) auf (c) ist die Dimensionsformel ja Voraussetzung und zu zeigen. |
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06.01.2018, 18:37 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
"Ursprung" klingt geometrisch. So kann das im allgemeinen nicht definiert sein. Deine Ausführungen genügen nicht den allgemeinen Anforderungen an einen Beweis. |
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