Lagrange Identität

04.01.2018, 22:22

patty56

Lagrange Identität

Hallo zusammen,

ich beweise mit Hilfe von den Kronecker-Delta und Epsilon-Tensor die Lagrange Identität und ich möchte etwas über den letzten Schritt fragen:

$\begin{eqnarray*} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c}\times\vec{d}) = ... = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})a_ib_jc_ld_m<br /> \end{eqnarray*}$

Der einzige Weg, dass die Deltas gleich 1 sind, ist wenn alle i=m=j=l gleich sind. Aber wieso muss ich dann z.b. zwei von den 4 Buchstaben dann benutzten? Also der next schritt ist dann:

$\begin{eqnarray*} = a_ic_ib_jd_j - a_id_ib_jc_j<br /> \end{eqnarray*}$

Ist das alles zu dem Beweis? Oder fehlt mir etwas? Es ist ein bisschen unintuitiv, dass ich dann i und j benutzte, um zu zeigen, dass es so gilt.

Oh und falls jemand solche Aufgaben mit Lösungen hat/weißt, es wäre sehr nett, wenn du sie mitteilen könntest. Ich habe schon lang mit Google geguckt und es gibt keine Websites mit ausführlichen Lösungen.

Danke im Voraus!

05.01.2018, 09:06

Ehos

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Es wird übersichtlicher, wenn man die Klammer mit den Kroecker-Deltas als Determinante schreibt wie folgt

$\begin{eqnarray*} (\vec a \times \vec b) \cdot (\vec c \times \vec d)=\underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{vmatrix}}_{\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}}a_ib_jc_ld_m \end{eqnarray*}$

Nun benutzt man die Rechenregel $\begin{eqnarray*} \det(\vec A, \vec B)\cdot \alpha \beta=\det(\vec \alpha\cdot A, \vec \beta \cdot B) \end{eqnarray*}$ für Determinanten. Man holt also die Faktoren, welche außerhalb der Determinante stehen, in die Determinante hineien. Das ergibt im 1.Schritt

$\begin{eqnarray*} (\vec a \times \vec b) \cdot (\vec c \times \vec d)=\begin{vmatrix} \delta_{il} a_i & \delta_{im}a_i \\ \delta_{jl}b_j & \delta_{jm}b_j \end{vmatrix}c_ld_m =\begin{vmatrix} a_l & a_m \\ b_l & b_m \end{vmatrix}c_ld_m \end{eqnarray*}$

Nach dem gleichen Prinzip holen wir die Faktoren $\begin{eqnarray*} c_l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_m \end{eqnarray*}$ in die Determinante hinein

$\begin{eqnarray*} (\vec a \times \vec b) \cdot (\vec c \times \vec d)=\begin{vmatrix} a_lc_l & a_md_m \\ b_lc_l & b_md_m \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vec a \vec c & \vec a \vec b \\ \vec b \vec c & \vec b \vec d \end{vmatrix}=(\vec a \vec c)(\vec b \vec d)-(\vec a \vec b)(\vec b \vec c) \end{eqnarray*}$

07.01.2018, 14:00

IfindU

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RE: Lagrange Identität

Zitat:

Original von patty56

$\begin{eqnarray*} (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})a_ib_jc_ld_m \end{eqnarray*}$

Der einzige Weg, dass die Deltas gleich 1 sind, ist wenn alle i=m=j=l gleich sind.

Verstehe ich nicht. Ist $\begin{eqnarray*} i = m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j = l \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \delta_{im}\delta_{jl} = \delta_{ii}\delta_{jj} = 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$ . Auch wenn $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ .

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