Hyperbolischer Tangens

Neue Frage »

SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperbolischer Tangens
Hallo:


Es geht um den .

1. Begründe, dass auf ganz definiert und stetig ist:

Meine Ideen:

.

D.h , denn der Nenner

Zur Stetigkeit:
ist stetig, da 1 als konstante Funktion stetig ist. ist stetig, denn 2 als konstante Funktion ist stetig, der Nenner ist stetig ist stetig ist, ist stetig, dann auch die Komposition, 1 auch. Dann auch die Summe dieser stetigen Funktionen. Da der Nenner nicht 0 wird ist der ganze Bruch dann stetig und insgesamt die Differenz, da es ich um eine Differenz stetiger Funktionen handelt.




2.Berechne die Grenzwerte und .



Meine Ideen;

Das vorletzte "=" folgt aufgrund der Stetigkeit der e- Funktion.
analog .

Geht das so?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht alles so weit gut aus! smile



mY+
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankesmile
Als nächstes soll ich die Monotonie von tanhx betrachten. Dazu soll ich zeigen, dass e^x streng monoton steigend ist. Wie mache ich das am besten?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Vorzeichen der Ableitung von tanh(x) muss durchwegs positiv (und ungleich Null) sein.

Oder bei zeigst du: für h > 0 und alle x im Definitionsbereich.
Natürlich geht das auch dort einfacher über die Ableitung.

mY+
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich e^x ableite habe ich wieder e^x. Wie komme ich dann auf die gewünschte Monotonie? verwirrt
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kriege ich das hin mit der Ableitung der e-Funktion?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SimonMathe1
Aber wenn ich e^x ableite habe ich wieder e^x. Wie komme ich dann auf die gewünschte Monotonie? verwirrt

Also, die Ableitung ist wieder , das ist klar.
Für die Monotonie ist aber nur das Vorzeichen der Ableitung in dem gegenständlichen Bereich entscheidend. Was kannst du also über das Vorzeichen von aussagen?
--------------
Nach meinem Verständnis musst du jedoch das Vorzeichen der Ableitung von betrachten:







mY+
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für die blöde Frage. Ich habe einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.

Also ist streng monoton steigend, da die Ableitung davon also

Der tanh x ist dann auch streng monoton steigend, da die Ableitung >0 ist, denn
Dann auch

Und dann insgesamt der Bruch.

Dann würde ich noch gerne die gleichmäßige Stetigkeit von tanhx begründen ohne Differentialrechnung zu verwenden.
Dazu muss ich erstmal eine Abschätzung finden:

|f(x)-f(x')|= |\frac{2(e^{2x}-e^{2x'} ) }{(e^{2x}+1)(e^{2x'}+1)} |

Hier bleibe ich hängen. Wie kann ich weiter abschätzen?
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »

SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich vllt den Nenner insgesamt mit (0+1)(0+1) abschätze, erhalte ich
Wie kann ich das weiter abschätzen.
SimonMathe1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann niemand helfen? smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »