Rechnen mit komplexen Zahlen

05.01.2018, 15:22

Snexx_Math

Rechnen mit komplexen Zahlen

Hallo zusammen,

eine kleine Fragenreihe zu komplexen Zahlen schwirrt in meinem Kopf und hofft auf Beantwortung Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ :

Wieso gilt:

a)
$\begin{eqnarray*} Re (z_1 \cdot \overline{z_2}) \leq |z_1 \cdot \overline{z_2}| \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} |\overline{z}| = |z| \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \end{eqnarray*}$

d)
$\begin{eqnarray*} \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \end{eqnarray*}$

LG

Snexx

05.01.2018, 15:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechnen mit komplexen Zahlen
Was a) betrifft: Es gilt $\begin{align*} \operatorname{Re}(z)\leq |z| \end{align*}$ für alle komplexen $\begin{align*} z \end{align*}$ , speziell dann auch für $\begin{align*} z = z_1\cdot \overline{z_2} \end{align*}$ . Es gilt sogar das stärkere $\begin{align*} \left| \operatorname{Re}(z) \right| \leq |z| \end{align*}$ .

Dies und auch b)c)d) kann man an sich leicht mit Ansätzen $\begin{align*} z=a+ib \end{align*}$ für alle beteiligten Zahlen unter Anwendung der Rechenregeln und Betragsformeln komplexer Zahlen beweisen. Keine Geniestreiche nötig, nur geduldige Arbeit.

05.01.2018, 15:49

sixty-four

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechnen mit komplexen Zahlen
Wenn $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} \overline{z}=x-iy \end{eqnarray*}$ dann rechne doch einfach mal drauflos.

05.01.2018, 16:10

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechnen mit komplexen Zahlen
ok , stimm dann:

a)
Es gitl ja:
$\begin{eqnarray*} Re(z) \leq |z| \end{eqnarray*}$ . Dann folgt :

$\begin{eqnarray*} Re (z_1 \cdot \overline{z_2}) = Re(z_1) \cdot Re(\overline{z_2}) \leq |z_1| \cdot |\overline{z_2}| \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} Re (z_1 \cdot \overline{z_2}) \leq |z_1 \cdot\overline{z_2}| \end{eqnarray*}$

b)
Habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung , mein Ansatz wäre jetzt zu zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} |x_1 + iy_1| = |x_1 - iy_1| \end{eqnarray*}$

c)

$\begin{eqnarray*} \overline{z_1 + z_2} = \overline{(x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) } = \overline {(x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)} = (x_1 + x_2) - i(y_1 + y_2) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \overline{z_1} + \overline{z_2} = \overline{(x_1 + iy_1)} + \overline{(x_2 + iy_2)} = (x_1 - iy_1) + (x_2 - iy_2) = (x_1 + x_2) - i(y_1 + y_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \end{eqnarray*}$

d)
$\begin{eqnarray*} \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{(x_1 + iy_1) \cdot (x_2 + iy_2) } = \overline{(x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)} = (x_1x_2 - y_1y_2) - i(x_1y_2 + x_2y_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = \overline{x_1 + iy_1} \cdot \overline{x_2 +iy_2} = (x_1 - iy_1) \cdot (x_2 - iy_2) = x_1x_2 -x_1iy_2 - iy_1x_2 + iy_1iy_2 = x_1x_2 -x_1iy_2 - iy_1x_2 + i^{2}y_1y_2 = x_1x_2 -x_1iy_2 - iy_1x_2 + (-1)\cdot y_1y_2 = x_1x_2 -x_1iy_2 - iy_1x_2 -y_1y_2 = x_1x_2 -y_1y_2 - i(x_1y_2 + x_2y_1)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \end{eqnarray*}$

05.01.2018, 16:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechnen mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Snexx_Math
$\begin{eqnarray*} Re (z_1 \cdot \overline{z_2}) = Re(z_1) \cdot Re(\overline{z_2}) \end{eqnarray*}$

Warum nur bringst du dich in derlei Schwierigkeiten mit dieser falschen Gleichung? Ist doch unnötig wie ein Kropf (siehe meine obigen Anmerkungen zu a)).

Zitat:

Original von Snexx_Math
Habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung , mein Ansatz wäre jetzt zu zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} |x_1 + iy_1| = |x_1 - iy_1| \end{eqnarray*}$

Genau, tu das.

Der Lichtblick sind c) und d), die sind nämlich richtig. Warum allerdings die letzte Zeile so exorbitant lang werden musste ist wohl dein Geheimnis, bei der vorletzten ging es doch auch kürzer? Vielleicht war dir bei der Produktbildung einfach nicht bewusst, dass man das auch als $\begin{align*} (x_1 - iy_1) \cdot (x_2 - iy_2) = (x_1 + i(-y_1)) \cdot (x_2 + i(-y_2)) \end{align*}$ auffassen kann.

08.01.2018, 14:29

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechnen mit komplexen Zahlen
zu a)
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} Re(z) \leq |z| \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} z_1 \cdot \overline{z_2} = z \end{eqnarray*}$ , dann folgt :

$\begin{eqnarray*} Re(z_1 \cdot \overline{z_2})=Re(z) \leq |z| = |z_1 \cdot \overline{z_2}|= |z_1| \cdot |\overline{z_2}| \end{eqnarray*}$

so besser ? smile

und zu b)
Ich hänge auch wenn die Richtung gut ist, total fest.
Ich wüsste nicht wie ich das zeigen soll unglücklich

zu zeigen : $\begin{eqnarray*} |x_1 + iy_1| = |x_1 - iy_1| \end{eqnarray*}$

Anatz:

$\begin{eqnarray*} |x_1 + iy_1| = ... \end{eqnarray*}$ ( und dann ??? unglücklich

)

08.01.2018, 14:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind wirklich unerklärliche Blackouts... Der Betrag ist $\begin{align*} |x_1+iy_1|=\sqrt{x_1^2+y_1^2} \end{align*}$ , Pythagoras lässt grüßen.

08.01.2018, 15:40

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

Pythagoras besagt ja: $\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} = c^{2} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2} + b^{2} } = c \end{eqnarray*}$

Nun zur Aufgabe: $\begin{eqnarray*} |x_1+iy_1|=\sqrt{(x_1 + i \cdot y_1)^{2} } \end{eqnarray*}$ Aber wie kommt man denn von $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x_1 + i \cdot y_1)^{2} } \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{x_1^{2} + i \cdot y_1^{2}} \end{eqnarray*}$

Sry falls ich mich gerade mega dumm Anstelle oder irgendeine "einfache" Rechenregeln nicht benutze, da sie mir nicht einfällt.

LG

08.01.2018, 15:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zurück auf Anfang: Wie habt ihr denn bei euch den Betrag einer komplexen Zahl definiert?

08.01.2018, 16:09

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Betrag von eine komplexen Zahl haben wir folgend definiert:

Sei $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{|z\cdot \overline z |} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{eqnarray*}$

Ohh ...... Hammer

Aus dieser Definition folgt direkt:
$\begin{eqnarray*} z = x +iy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x+iy|= \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{eqnarray*}$

Dann zur weiteren Umformung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} + y^{2}} = |x-iy| \end{eqnarray*}$ da, $\begin{eqnarray*} \sqrt{|z\cdot \overline z |} = \sqrt{ |\overline z \cdot z |} = \sqrt{ \overline z \cdot \overline{\overline z } |}= |\overline z| \end{eqnarray*}$

Also gesamt:
$\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{|z\cdot \overline z |} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{|z\cdot \overline z |} = \sqrt{ |\overline z \cdot z |} = \sqrt{ \overline z \cdot \overline{\overline z } |}= |\overline z| \end{eqnarray*}$

08.01.2018, 16:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so manches Problem erledigt sich recht schnell, wenn man einfach mal die Definitionen gründlich liest - oder noch besser, sie verinnerlicht (ja ich weiß, ist ein bisschen viel verlangt).

08.01.2018, 16:19

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja tut mir leid , aber nach diesem Beitrag werde ich den Betrag einer komplexen Zahl wohl nicht mehr vergessen Augenzwinkern

Also stimmt das obige ?

Neue Frage »

Antworten »

Rechnen mit komplexen Zahlen

Verwandte Themen