Anzahl der Untergruppen einer zyklischen Gruppe

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tomrb Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Untergruppen einer zyklischen Gruppe
Meine Frage:
Hi,

ich habe folgende Aufgabe.

Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung 12 mit dem erzeugenden Element z.

(a) Bestimmen Sie die Anzahl der Untergruppen von G.
(b) Bestimmen Sie für jede Untergruppe U das Erzeugende Element u in Abhängigkeit von z.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass Untergruppen von zyklischen Gruppen ebenfalls zyklisch sind. Und das, wenn a ein erzeugendes Element in einer zyklischen Gruppe G mit der Ordnung n (in meinem Fall n = 6) ist, dann gilt:
\left\{ e, a, a^{1}, a^{2}, a^{3}, ..., a^{n-1} \right\} = G

Ich bin dankbar für jeden Lösungsvorschlag.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Schau auf die Uhr. 1 ist das erzeugende Element der zyklischen Gruppe der Ordnung 12 auf dem Zifferblatt. Die Untergruppen und ihre Erzeugenden sind leicht zu finden.
 
 
tomrb Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf eine Gesamtzahl von 6 Untergruppen. Ist das richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, zu jedem Teiler von 12 gibt es nach dem Hauptsatz über zyklische Gruppen genau eine - stets zyklische - Untergruppe.
tomrb Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte da noch eine weitere Frage. Wie würde ich die Anzahl der Untergruppen für eine allgemeine zyklische Gruppe der Ordnung n angeben? Müsste ich dann alle Teiler dieses n's finden oder gibt es noch einen anderen Weg?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anzahl der Teiler von ist eine Zahl . Um diese Zahl zu berechnen, muss man nicht alle Teiler von berechnen. Jede natürliche Zahl hat eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlpotenzen, und daraus berechnet man die Anzahl der Teiler.


z.B.
tomrb Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank! Hammer
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