Quadratische Funktion in Scheitelpunktform mit Parameter

06.01.2018, 12:55

Mathe-Novize

Quadratische Funktion in Scheitelpunktform mit Parameter

Meine Frage:
Guten Tag liebe Gemeinde,

dies ist meine erste Frage hier im matheboard, habt daher ggf. etwas Nachsicht mit mir. Ich habe eine Übungsaufgabe in meinem Skript und ich finde dazu gerade nicht wirklich die richtige Lösungsidee. Die Aufgabe lautet wie folgt:

"Für welche reellen Werte von p ist

$\begin{eqnarray*} (4-p)x^2+(2p-2)x-(7p+1) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ negativ?"

Die Aufgabe befindet sich im einleitenden Teil zur Analysis und Differentialrechnung und dieser vorangegangen sind ein paar Aufgaben zum Auffrischen, wo man einfach nur ein paar quadratische Terme in eine Scheitelpunktform bringen sollte (mittels quadratischer Ergänzung).

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war daher, die Aufgabe ebenfalls über die quad. Ergänzung zu lösen. So wie ich es verstehe, muss ich den Term ja nur in die übliche Scheitelpunktform $\begin{eqnarray*} a(x+b)^2+c \end{eqnarray*}$ bringen, um daraus dann die Lösung abzulesen. Ich sorge doch in dem Fall dann dafür, dass die Funktion für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ negativ ist, wenn der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt und die Parabel sich nach unten öffnet. Somit hatte ich gedacht, es wäre damit getan, wenn ich erreiche, dass $\begin{eqnarray*} a,c<0 \end{eqnarray*}$ sind.

Wenn ich aber anfange, dass über die quadratische Ergänzung zu lösen, kriege ich die wildesten Terme heraus und lande am Ende noch mit einem gebrochenrationalen Term in meinem $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

Für einen Hinweis von euch, ob meine Grundidee richtig ist oder ob ich in die flasche Richtung gelaufen bin und sich die Sache doch einfacher gestaltet, bin ich sehr dankbar!

06.01.2018, 13:59

IfindU

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RE: Quadratische Funktion in Scheitelpunktform mit Parameter
Die Ideen passen alle. Und ich denke nicht, dass es signifikant leichter geht. Früher oder später muss man $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bestimmen und gucken wann es negativ wird.

06.01.2018, 17:11

Mitleser

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Doppelbrüche werden entstehen, aber im Endeffekt läuft es auf das Lösen von 6p²-25p-5>0 mit p>4 hinaus.
Deine Lösung kannst du dann auch schön mit dem Schieberegler bei Geogebra prüfen.

Zitat:

wenn der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt und die Parabel sich nach unten öffnet

Äquivalent dazu wäre auch, dass man für p>4 untersucht, wann die Diskriminante D<0 ist.

06.01.2018, 20:45

Mathe-Novize

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Vielen Dank für eure Antworten!

Ich habe zwischenzeitlich nochmal rumgerechnet und bin mittlerweile echt ausgelaugt - vielleicht sehe ich auch den Wald vor lauter p's nicht mehr Hammer

Also ich habe den Term nun mal wie folgt umgeformt (bitte Hinweise, aber keine Schelte bei Fehlern traurig

):

$\begin{eqnarray*} (4-p)x^2+(2p+2)x-(7p+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (4-p)\left(x+\frac{2p+2}{2(4-p)}\right)^2-(4-p)\left(\frac{2p+2}{2(4-p)}\right)^2-(7p+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left(...\right)\left(...\right)^2-\frac{(4-p)(2p+2)^2}{4(4-p)^2}-(7p+1) \end{eqnarray*}$

Nach Vereinfachung und Zusammenfassung erhalte ich schließlich:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left(...\right)\left(...\right)^2-\frac{11p^2-19p}{4(4-p)} \end{eqnarray*}$

Liege ich soweit richtig? Und dann? Nun ist ja mein $\begin{eqnarray*} a=4-p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=-\frac{11p^2-19p}{4(4-p)} \end{eqnarray*}$ . Da ich durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ja weiß, dass $\begin{eqnarray*} p>4 \end{eqnarray*}$ sein muss, muss ich jetzt noch schauen, wann $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ negativ wird, oder? Da stehe ich gerade ein bisschen auf dem Schlauch. Brauche ich da jetzt eine Fallunterscheidung? Durch eine schnelle Kontrolle in Geogebra weiß ich ja, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ irgendwo bei 5 liegen muss.

Lieben Gruß

06.01.2018, 20:53

Mitleser

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (4-p)x^2+(2p+2)x-(7p+1) \end{eqnarray*}$

Oben stand aber ---+(2p-2)x...
Was stimmt nun ? verwirrt

06.01.2018, 20:55

Mathe-Novize

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Verzeihung, war mein Fehler!

$\begin{eqnarray*} \left(2p+2\right) \end{eqnarray*}$ ist richtig, hatte mich irgendwann in meinen Rechnungen verschrieben und das oben dann falsch abgeschrieben vom Zettel. Danke für den Hinweis!

06.01.2018, 21:28

Mitleser

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Aha, damit kommt nämlich dann auch eine glatte Lösung raus.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left(...\right)\left(...\right)^2-\frac{(4-p)(2p+2)^2}{4(4-p)^2}-(7p+1) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht verguckt habe, dann stimmt es bis dahin.
Danach passieren dir beim Zusammenfassen aber wohl Fehler, die man jedoch nicht weiter analysieren kann.

Nur gekürzt folgt daraus für die y-Koordinate des Scheitelpunkt doch zunächst $\begin{eqnarray*} -\frac{(p+1)^2}{4-p}-(7p+1) \end{eqnarray*}$ und auf einen Nenner dann $\begin{eqnarray*} -\frac{p^2+2p+1}{4-p}-\frac{(7p+1)(4-p)}{4-p} \end{eqnarray*}$
und damit $\begin{eqnarray*} \frac{-p^2-2p-1-(7p+1)(4-p)}{4-p} \end{eqnarray*}$

Fasse das noch weiter im Zähler zusammen und überlege dir dann wann dieser Term für p>4 negativ wird.

08.01.2018, 15:56

Mathe-Novize

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Hallo Mitleser,

vielen Dank für deine Hilfe! Habe nochmal alles sauber nachgerechnet und bin, wie du, auf eine glatte Lösung gekommen. Hier nochmal die Rechnung als Hilfe für die Nachwelt (Aufgabe und Lösungsansätze s. weiter oben):

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&(4-p)x^2+(2p+2)x-(7p+1) \end{eqnarray*}$

Ziel ist es, diesen Term in die Scheitelpunktform

$\begin{eqnarray*} a(x+b)+c \end{eqnarray*}$

zu überführen, da man daraus die gesuchte Lösung für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ablesen kann. Dabei interessieren uns logischerweise nur der Faktor $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und der Summand $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ der Scheitelpunktform, da $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ lediglich für eine Verschiebung entlang der x-Achse sorgt. Nach Anwendung der quadratischen Ergänzung erhalten wir somit zunächst:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)&=&(4-p)\left(x+\frac{2p+2}{4-p}+\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{2p+2}{4-p}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{2p+2}{4-p}\right)^2\right)-(7p+1)\\ \Leftrightarrow f(x)&=&(4-p)\left(x+\frac{2p+2}{8-2p}\right)^2-(4-p)\left(\frac{2p+2}{8-2p}\right)^2-(7p+1)\\ \Leftrightarrow f(x)&=&(4-p)\left(x+\frac{2p+2}{8-2p}\right)^2-\frac{4(4-p)(p+1)^2}{4(4-p)^2}-(7p+1)\\ \Leftrightarrow f(x)&=&(4-p)\left(x+\frac{2p+2}{8-2p}\right)^2+\frac{-(p+1)^2-(7p+1)(4-p)}{4-p} \end{eqnarray*}$

Nach weiterer Zusammenfassung des Bruchs und Faktorisierung des Zählerpolynoms erhalten wir schließlich:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)&=&{\color{red}(4-p)}\left(x+\frac{2p+2}{8-2p}\right)^2+6\cdot {\color{blue}\frac{(p+\frac{1}{6})(p-5)}{4-p}} \end{eqnarray*}$

Da wir durch $\begin{eqnarray*} {\color{red}a} \end{eqnarray*}$ bereits wissen, dass $\begin{eqnarray*} p>4 \end{eqnarray*}$ sein muss (damit sich unsere Parabel nach unten öffnet), müssen wir nun noch schauen, wann der Summand $\begin{eqnarray*} {\color{blue}c} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} p>4 \end{eqnarray*}$ negativ wird. Durch kurzes Überlegen oder Betrachten auf dem Zahlenstrahl stellen wir dann fest, dass nur $\begin{eqnarray*} p>5 \end{eqnarray*}$ in Frage kommt und die Lösung somit lautet:

$\begin{eqnarray*} \forall p\in [5, \infty )_\mathbb R\Rightarrow f(x)<0 \end{eqnarray*}$

Freundlichen Gruß

08.01.2018, 15:59

IfindU

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Kleiner Nachtrag, weil ich im ersten Post etwas unsauber war. Es reicht natürlich auch wenn $\begin{eqnarray*} a \leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c < 0 \end{eqnarray*}$ ist. Ändert hier nichts am Ergebnis, wollte es aber loswerden.

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