Druckwelle (Aufgabe zur Methode von d'Alembert; Wellengleichung)

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Gravik Auf diesen Beitrag antworten »
Druckwelle (Aufgabe zur Methode von d'Alembert; Wellengleichung)
Meine Frage:
Hallo liebes matheboard smile

Ich lerne momentan Partielle Differentialgleichungen und das Finden der Lösungen mit der Methode von d'Alembert. Nun habe ich leider bei einer Aufgabe ein Verständnisproblem und hoffe wirklich, dass ihr mir dabei weiterhelfen könnt smile

Die Aufgabe lautet:

"Eine Druckwelle, verursacht durch eine Explosion, erfüllt die Gleichung
,
wobei den Druck zur Zeit t am Ort x bezeichnet. Die Anfangsbedingungen zur Zeit der Explosion sind:





Ein Gebäude steht am Punkt und hält einen Druck von stand. Wird das Gebäude zusammenbrechen?"


Meine Ideen:
Ich wende hier die Methode von d'Alembert an:



wobei gilt:


und



Das Integral kann ich ja auch berechnen:



Ab hier komme ich einfach nicht weiter. Ich weiss nicht genau, wie ich die Funktionswerte bestimmen soll aus den obigen Angaben...
Ich wäre euch unendlich dankbar, wenn ihr mir dabei helfen könntet! smile

Liebe Grüsse!
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

normalerweise sucht man ja bei Differentialgleichungen nach zumindest stetig differenzierbaren Lösungen und erwartet demnach möglichst auch differenzierbare Anfangsbedingungen; aber in deinem Fall sind die Anfangsbedingungen noch nicht einmal stetig. Daher bin ich unsicher, ob man dann einfach so mit der Methode von d'Alembert "draufkloppen" kann. Falls man kann (falls also dein Lösungsweg soweit richtig ist), dann setz' mal t=3 ein. Augenzwinkern

Man könnte evtl. noch versuchen, auf einem geeigneten Bereich eine Fourierreihenentwicklung zu machen. Für die globale Ausbreitung einer Druckwelle wäre es natürlich unlogisch anzunehmen, dass die periodisch verläuft; aber es interessiert ja nur der Ort x=12, insofern könnte man das zB auf dem Intervall [0,15] versuchen (ab x>15 ist dann die Lösung nicht mehr "gültig", aber ist ja egal).

LG
sibelius84
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