Grenzwert 0 * unendlich

06.01.2018, 19:16	Lars_02018	Auf diesen Beitrag antworten »
*Grenzwert 0 unendlich Meine Frage:** Wie berechne ich den Grenzwert x -> unendlich Wurzel(1 + x^2)* Sin(1/x)? Meine Ideen: Ich weiß, dass für x -> unendlich Wurzel(1 + x^2) -> unendlich und Sin(1/x) -> 0 sind. Mit der Regel von l'Hospital bin ich nicht weitergekommen. Was mache ich falsch?
06.01.2018, 19:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde $\begin{align} x = \frac{1}{t} \end{align}$ substituieren und den Grenzübergang $\begin{align} t \to 0 \end{align}$ mit $\begin{align} t>0 \end{align}$ durchführen. Wenn du den Wurzelteil geschickt umformst, kannst du den Term $\begin{align} \frac{\sin t}{t} \end{align}$ ins Spiel bringen, dessen Grenzwert bekannt sein dürfte.
06.01.2018, 21:03	Lars_02018	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kriege das "geschickte Unformen" nicht hin. Gibt es dazu vielleicht noch einen Tipp?
06.01.2018, 23:15	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Hinweis zum geschickten Umformen hat Leopold geschickt versteckt Du könntest ja mal den Term $\begin{eqnarray} sin(t) \end{eqnarray}$ so schreiben, dass du ihn problemlos mit dem Wurzelterm zusammenfassen kannst. Dann Leos Hinweis aktivieren
06.01.2018, 23:16	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Grenzwert 0 unendlich** Hm, ich habe jetzt auch keine Idee, aber ich würde das Quadrat des ganzen betrachten.
06.01.2018, 23:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach der Substitution kommt $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0} \sqrt{1 + \left(\frac 1 t \right)^2} \cdot \sin t = \lim_{t \to 0} \sqrt{\sin^2 t + \left(\frac {\sin t} t \right)^2} = \ldots \end{eqnarray}$ mY+
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06.01.2018, 23:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt wie mYthos den Sinus unter die Wurzel zu ziehen, hätte ich das $\begin{align} t \end{align}$ aus der Wurzel herausgelöst (man beachte $\begin{align} t>0 \end{align}$ ). So oder so ergibt sich derselbe Limes: $\begin{align} \sqrt{1 + \frac{1}{t^2}} \cdot \sin t = \sqrt{\frac{t^2+1}{t^2}} \cdot \sin t = \sqrt{t^2+1} \cdot \frac{\sin t}{t} \end{align}$
07.01.2018, 00:03	Lars_02018	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank! Das verstehe ich, wäre ich aber nicht selbst drauf gekommen.

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