Lineare Regression: Wieso verläuft die Regressionsgerade immer durch die arith. Mittel?

06.01.2018, 22:01	Moritary	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Regression: Wieso verläuft die Regressionsgerade immer durch die arith. Mittel? Hallo zusammen, ich bin gerade beim Thema Lineare Regression, genauer gesagt bei der Methode der kleinsten Quadrate. Den Ansatz und das allgemeine Vorgehen hab ich eigentlich verstanden, jedoch leuchtet mir ein bestimmter Punkt nicht ganz ein: Die Regressionsgerade verläuft immer durch den Punkt $\begin{eqnarray} (\bar{x}, \bar{y}) \end{eqnarray}$ , der auch Schwerpunkt der Verteilung genannt wird. Wieso ist das so und wie kann man das beweisen? Auf Wikipedia hab ich dazu bereits eine Formel gefunden, den ich allerdings nicht wirklich verstanden hab, da dort einfach nur die Werte eingesetzt wurden, ohne Erklärung warum die Gleichung so auch wirklich aufgeht. Das ganze basierte letztendlich auf der Aussage, dass $\begin{eqnarray} \bar{y}=\overline{\hat{y}} \end{eqnarray}$ gilt. Aber wieso soll das gelten? Schließlich weichen doch die ganzen $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ um genau $\begin{eqnarray} u_i \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \hat{y_i} \end{eqnarray}$ ab und haben letztendlich ganz andere Werte? Wieso sollte dann deren arithmetisches Mittel gleich sein? Ich hoffe jemand kann mir das möglichst einfach und verständlich erklären. Danke
06.01.2018, 23:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Regressionsgerade wird bestimmt gemäß der Methode der kleinsten Quadrate, d.h., unter allen Paaren $\begin{align} (a,b) \end{align}$ reeller Zahlen wird dasjenige gewählt, welches die Quadratsumme $\begin{align} f(a,b):=\sum_{i=1}^n (y_i-ax_i-b)^2 \end{align}$ minimiert. Die Lösung dieses Mininimierungsproblems erfordert insbesondere für die partielle Ableitung $\begin{align} \frac{\partial}{\partial b}f(a,b) = 0 \end{align}$ , was zu $\begin{align} -2\sum_{i=1}^n (y_i-ax_i-b)=0 \end{align}$ führt, was durch $\begin{align} -2n \end{align}$ geteilt $\begin{align} \bar{y}-a\bar{x}-b=0 \end{align}$ entspricht.

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