Funktionen und Ableitungen

07.01.2018, 11:32

Anna231

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Funktionen und Ableitungen

Hallo,
ich komme mit folgender Funktion nicht zurecht:

Sei $\begin{eqnarray*} f : [-1, 1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
f(x) =

1. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in (\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k \in N \end{eqnarray*}$ ,

2. $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ,

3. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [\frac{1}{k},\frac{1}{k-1}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k \in Z \setminus N_0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (-k) \in N \end{eqnarray*}$ ,

Also wenn ich die Funktion versuche zu skizzieren, dann nehme ich erstmal k=1,2:

Dann erhalte ich bei 1.)

$\begin{eqnarray*} x \in(\frac{1}{2},\frac{1}{1}] \end{eqnarray*}$ und mein Funktionwert wäre dann 1?

habe ich dann in meinem Graphen eine Linie für x zwischen 0,5 und 1 bei Funktionwert 1?

für k=2 erhalte ich $\begin{eqnarray*} x \in(\frac{1}{3},\frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$ und Funktionswert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Habe ich dann so eine Art Treppenfunktion?

Bei 3.)

erhalte ich dann für k=1 $\begin{eqnarray*} x \in [\frac{-1}{1},\frac{-1}{2}) \end{eqnarray*}$

Also dann auch wieder Intervalle und hier den Funktionswert -1?

Stimmt das?

07.01.2018, 12:49

Elvis

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Ja, das ist eine symmetrische Treppe mit immer kleineren und schmaleren Stufen zum Nullpunkt hin.

07.01.2018, 13:05

Anna231

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Danke dir Elvis smile

smile

Jetzt soll ich f in den Punkten $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n =\frac{1}{n} , n \in N \end{eqnarray*}$ , auf Existenz von
1.
$\begin{eqnarray*} f'(x_n) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f'_+(x_n) \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} f'_-(x_n) \end{eqnarray*}$

Also wenn f an der Stelle nicht stetig wäre, dann ist sie bei 1. auch nicht diffbar.
Aber wie setze ich denn diese Stellen überhaupt ein.
Kann es mit jmd vllt beispielhaft mal zeigen?

07.01.2018, 13:59

Elvis

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Das kannst du dir leicht selbst klar machen, wenn du die Treppenstufe $\begin{eqnarray*} x \in(\frac{1}{3},\frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$ und Funktionswert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ anschaust.

Ich kann aber nicht glauben, dass die Frage so gestellt wurde, wie du sie hier aufschreibst. Es gibt zwar links- und rechtsseitige Grenzwerte aber keine links- und rechtsseitigen Ableitungen.

Habe gegoogelt, gibt es doch. Also alles ganz einfach.

07.01.2018, 15:00

Anna231

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Zitat:

Original von Elvis
Das kannst du dir leicht selbst klar machen, wenn du die Treppenstufe $\begin{eqnarray*} x \in(\frac{1}{3},\frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$ und Funktionswert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ anschaust.

Ich verstehe das leider nicht. Wie sehe das ?

07.01.2018, 17:58

Elvis

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Man sieht: eine Stufe ist eine waagerechte Strecke, solange man auf der Strecke bleibt, ändert sich nichts. D.h. links- und rechtsseitige Ableitung=0. An allen Sprungstellen nicht stetig also nicht differenzierbar (hast du selber gesagt), also existiert Ableitung nicht.

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07.01.2018, 18:30

Anna231

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Ja stimmt, aber wie kann ich das formal zeigen, dass die Ableitung nicht existiert.
Vllt das der linksseitige GW und de rechtsseitige GW nicht übereinstimmen.

Aber wie bekommt an denn $\begin{eqnarray*} f'_+(x_n) \end{eqnarray*}$ formal?

07.01.2018, 19:36

Elvis

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Eine Funktion, die an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, muss an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig sein. Das ist formal genug, um zu beweisen, dass sie an den Sprungstellen nicht diffbar ist.
Einseitige Grenzwerte kannst du berechnen, das geht genau so wie immer $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=lim_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ , nur dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ immer auf einer Seite von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ liegen muss. Da der Zähler immer 0 ist, ist der Grenzwert 0. wozu der Formalismus, wenn es sowieso schon völlig klar ist ?

07.01.2018, 19:54

Anna231

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Ok wie zeige ich dann, dass an der Stelle f(1/n) die Funktion unstetig ist?

08.01.2018, 11:12

Anna231

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Kann niemand mehr weiterhelfen?

08.01.2018, 11:35

IfindU

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So wie man es immer macht. Finde eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}x_k = \frac 1n \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} f(x_k) \neq f(\frac 1 n) \end{eqnarray*}$ .

08.01.2018, 11:37

Anna231

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Welche Folge würdest du da vorschlagen? smile

smile

08.01.2018, 11:41

IfindU

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In dem Beispiel gibt es praktisch gesehen nur zwei Möglichkeiten die Folge zu konstruieren. Entweder $\begin{eqnarray*} x_k > \frac 1 n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_k < \frac 1 n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . D.h. man nähert sich $\begin{eqnarray*} \frac 1 n \end{eqnarray*}$ einmal rechts und einmal von links an.

Eine davon ist ein passendes Gegenbeispiel. Wenn du es nicht siehst, probiere beide Richtungen einmal aus.

08.01.2018, 11:45

Anna231

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Ich habe glaub ich noch nicht die Funktion verstanden:

Wenn ich mich von rechts oder von links nähere kommt doch immer $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ heraus. Die Funktion ist doch so definiert unglücklich

unglücklich

08.01.2018, 11:50

IfindU

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Machen wir es anders. Deine Funktion ist lokal die Sigmumsfunktion. D.h. sei $\begin{eqnarray*} g \colon \mathbb R \to \mathbb R, \quad g(x)= \begin{cases}1 & x > 0 \\ -1 & x \leq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Um genau zu sein, ist es die abzählbare Summe solcher Funktionen. Damit du die Funktion verstehst, musst du zuerst $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ verstehen.

Ich behaupte die Funktion ist in der 0 unstetig. Finde mal 2 Nullfolgen, eine immer positiv, die andere immer negativ.

08.01.2018, 11:55

HAL 9000

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Für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ kann man die Funktion gemäß $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{\left\lfloor \frac{1}{x}\right\rfloor} \end{align*}$ beschreiben, außerdem kann man die Ungeradheit der Funktion erkennen, das ergibt

$\begin{align*} f(x) = \frac{\operatorname{sgn}(x)}{\left\lfloor \frac{1}{|x|}\right\rfloor} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ .

Der Boardplotter ist für derlei Funktionen ziemlich ungeeignet, ich wage es dennoch mal:

08.01.2018, 11:55

Anna231

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Einmal $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{-1}{n} \end{eqnarray*}$

Dann ist doch $\begin{eqnarray*} lim f(a_n)=1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} lim f(b_n)=-1 \end{eqnarray*}$

08.01.2018, 11:58

IfindU

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@HAL Ziemlich cool. Dachte nicht, dass man es so kompakt darstellen kann

@Anna Genau. Und nun zurück zu deiner Funktion mit Problemstelle $\begin{eqnarray*} \frac 1 n \end{eqnarray*}$ . HALs Plot könnte auch helfen.

08.01.2018, 12:03

Anna231

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Also rein anschaulich habe ich doch bei der Annäherung von links die "untere Stufe" , bei Annäherung von rechts die "obere Stufe".

Darf nicht zwischen den Stufen keine Verbindung sein im Graph?

08.01.2018, 12:06

IfindU

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Ganz genau. Und wie HAL angemerkt hat, kommt der Plotter mit so einer Funktion nicht gut zurecht. In "Wirklichkeit" gibt es diese Verbindungen nicht. Aber was Plotter machen, sind ganze viele Funktionswerte auswerten, und die dann mit Linien verbinden.
Deswegen sieht man auch Plot "Schrägen".

08.01.2018, 12:07

Anna231

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Gut

smile

Wie kann ich das dann formal richtig hinschreiben mit der Unstetigkeit?

08.01.2018, 12:14

IfindU

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Schreibe die Folgen explizit hin, werte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ entlang den Folgen aus. Schlussfolgere die jeweiligen Grenzwerte.

08.01.2018, 12:20

Anna231

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Also sei

$\begin{eqnarray*} a_k> \frac 1 n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k < \frac 1 n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Dann ist lim f(a_k)=1/n
und lim f(b_k)=\frac{1}{n-1} oder?

08.01.2018, 12:31

IfindU

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Ich würde die Folgen genau angeben. Also $\begin{eqnarray*} a_k = \frac 1 n + \frac 1 k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k = \frac 1 n - \frac 1 k \end{eqnarray*}$ . Und dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} f(a_k) = \frac 1 {n-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} f(b_k) = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ .
Ein wenig vorsichtiger musst du schon arbeiten.

Merke: Die Funktion ist monoton wachsend. Es ist $\begin{eqnarray*} b_k \leq \frac 1 n \leq a_k \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} f(b_k) \leq f( \frac 1 n) \leq f(a_k) \end{eqnarray*}$ . D.h. wenn deine Funktionswerte diese Ungleichungskette nicht erfüllen, ist etwas sehr schief gegagnen.

08.01.2018, 12:35

Anna231

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Ok dann habe ich es verstanden:

D.h doch auch dass $\begin{eqnarray*} f'_+(x_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'_-(x_n) \end{eqnarray*}$ existieren ?

08.01.2018, 12:44

IfindU

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Bis auf endlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ existiert sogar $\begin{eqnarray*} f'(x_n) \end{eqnarray*}$ . Aber ich denke dich interessiert $\begin{eqnarray*} f'_+(\frac 1 n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'_-(\frac 1 n) \end{eqnarray*}$ . D.h. dort wo es kritisch ist. Nicht in der Mitte der Stufe -- dort ist die Funktion differenzierbar und die Ableitung 0.

08.01.2018, 12:48

Anna231

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Bis auf endlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ existiert sogar $\begin{eqnarray*} f'(x_n) \end{eqnarray*}$ .

Wir haben gerade nachgewiesen, dass bei 1/n f'(x_n) nicht existiert. Wo existiert denn f'(x_n)?

08.01.2018, 12:58

IfindU

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Ich hatte im Kopf gerade $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ , welche sich $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ annährt. Aber z.B. $\begin{eqnarray*} f'(25) \end{eqnarray*}$ existiert.

08.01.2018, 13:03

Anna231

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Ich sehe gerade in der Aufgabe, dass man nur $\begin{eqnarray*} x_n=1/n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ prüfen soll. Dann fallen diese Betrachtungen ja weg.

Dann wäre doch $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'_+(0)=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f'_-(0)=0 \end{eqnarray*}$

Was wären konkret $\begin{eqnarray*} f_+(x_n) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_-(x_n) \end{eqnarray*}$

08.01.2018, 13:09

IfindU

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Bei der 0 bietet sich der "ungenaue" Plot von HAL sogar besser an als ein exakter. Man sieht wirklich wie die Ableitung NICHT in der 0 verschwindet.

Was die anderen Stellen betrifft: Du weißt sicher, dass aus Differenzierbarkeit sofort Stetigkeit folgt. Ähnlich folgt aus Links-differenzierbarkeit die Links-stetigkeit und aus der Rechts-differenzierbarkeit die Rechtsstetigkeit.

Da wir in $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n\neq 0 \end{eqnarray*}$ keine Rechtsstetigkeit vorliegen haben, kann auch $\begin{eqnarray*} f_+'(x_n) \end{eqnarray*}$ nicht existieren. Die linksseitige Ableitung existiert und ist 0. Das musst du natürlich nachrechnen.

08.01.2018, 13:21

Anna231

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Zitat:

Original von IfindU
Bei der 0 bietet sich der "ungenaue" Plot von HAL sogar besser an als ein exakter. Man sieht wirklich wie die Ableitung NICHT in der 0 verschwindet.

Wie kann man das nachrechnen unglücklich

unglücklich

verwirrt

08.01.2018, 13:30

IfindU

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Für $\begin{eqnarray*} h_n =\frac 1n \end{eqnarray*}$ kannst du sehr leicht nachrechnen, was $\begin{eqnarray*} \frac { f(h_n) - f(0) } {h_n} \end{eqnarray*}$ ist. Wenn die rechtsseitige Ableitung existiert, muss es insbesondere dieser Wert sein. Für allgemeines $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ muss man ein wenig abschätzen. Aber erst einmal das leichte.

08.01.2018, 13:36

Anna231

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Also es wäre doch dann:

$\begin{eqnarray*} \frac { f(h_n) - f(0) } {h_n} = \frac { 1/n - 0 } {1/n} =1 \end{eqnarray*}$ oder?

08.01.2018, 13:42

IfindU

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Genau. Insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Man sieht auch schön im Plot, dass es dort wie $\begin{eqnarray*} h(x) = x \end{eqnarray*}$ aussieht. Und $\begin{eqnarray*} h'(0) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Um es allgemein zu rechnen, musst du die Abschätzung $\begin{eqnarray*} h \leq f(h) \leq \frac h{ 1-h} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

Dank HAL ist $\begin{eqnarray*} f(h) = \frac 1 { \left \lfloor \frac 1 h \right \rfloor} \end{eqnarray*}$ und dann folgt es leicht mit den elementaren Abschätzungen $\begin{eqnarray*} x-1 < \lfloor x \rfloor \leq x \end{eqnarray*}$ .

08.01.2018, 13:50

Anna231

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Warum haben wir jetzt für die Ableitung bei 0 die Folge $\begin{eqnarray*} h_n:=1/n \end{eqnarray*}$ verwendet?

08.01.2018, 13:53

IfindU

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Weil es damit besonders einfach war. Nun musst du es noch für eine allgemeine Folge $\begin{eqnarray*} h\searrow 0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

08.01.2018, 13:56

Anna231

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wie soll das für eine allgemeine folge denn gehen.
Es tut mir leid, ich verstehe insgesamt die Aufgabe sehr schlecht traurig

traurig

08.01.2018, 13:59

IfindU

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Wofür denkst du habe ich den Beitrag Funktionen und Ableitungen geschrieben?

Dort steht eine Abschätzung mit dem man den Differentialquotienten in der 0 allgemein bestimmen kann, und ein Weg, diese Abschätzung herzuleiten.

08.01.2018, 14:03

Anna231

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Stimmt. Das tut mir leid unglücklich

unglücklich

Da hast du ja schon alles hingeschrieben was zu tun ist.

Das war dann aber die rechtsseitige Ableitung oder?

08.01.2018, 14:05

IfindU

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Genau. Die linkssetige kann man ähnlich herleiten. Und man findet raus, dass beide den Wert 1 liefern. Insbesondere ist die Funktion in 0 differenzierbar mit Ableitung 1.

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