Funktionen und Ableitungen

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Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen und Ableitungen
Hallo,
ich komme mit folgender Funktion nicht zurecht:

Sei definiert durch
f(x) =



1. für, ,

2. für ,


3. für,, also ,


Also wenn ich die Funktion versuche zu skizzieren, dann nehme ich erstmal k=1,2:

Dann erhalte ich bei 1.)

und mein Funktionwert wäre dann 1?

habe ich dann in meinem Graphen eine Linie für x zwischen 0,5 und 1 bei Funktionwert 1?


für k=2 erhalte ich und Funktionswert

Habe ich dann so eine Art Treppenfunktion?



Bei 3.)

erhalte ich dann für k=1

Also dann auch wieder Intervalle und hier den Funktionswert -1?


Stimmt das?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist eine symmetrische Treppe mit immer kleineren und schmaleren Stufen zum Nullpunkt hin.
 
 
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir Elvis smile

Jetzt soll ich f in den Punkten und , auf Existenz von
1.


2.

3.


Also wenn f an der Stelle nicht stetig wäre, dann ist sie bei 1. auch nicht diffbar.
Aber wie setze ich denn diese Stellen überhaupt ein.
Kann es mit jmd vllt beispielhaft mal zeigen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du dir leicht selbst klar machen, wenn du die Treppenstufe und Funktionswert anschaust.

Ich kann aber nicht glauben, dass die Frage so gestellt wurde, wie du sie hier aufschreibst. Es gibt zwar links- und rechtsseitige Grenzwerte aber keine links- und rechtsseitigen Ableitungen.

Habe gegoogelt, gibt es doch. Also alles ganz einfach.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Das kannst du dir leicht selbst klar machen, wenn du die Treppenstufe und Funktionswert anschaust.



Ich verstehe das leider nicht. Wie sehe das ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man sieht: eine Stufe ist eine waagerechte Strecke, solange man auf der Strecke bleibt, ändert sich nichts. D.h. links- und rechtsseitige Ableitung=0. An allen Sprungstellen nicht stetig also nicht differenzierbar (hast du selber gesagt), also existiert Ableitung nicht.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, aber wie kann ich das formal zeigen, dass die Ableitung nicht existiert.
Vllt das der linksseitige GW und de rechtsseitige GW nicht übereinstimmen.

Aber wie bekommt an denn formal?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Funktion, die an der Stelle differenzierbar ist, muss an der Stelle stetig sein. Das ist formal genug, um zu beweisen, dass sie an den Sprungstellen nicht diffbar ist.
Einseitige Grenzwerte kannst du berechnen, das geht genau so wie immer , nur dass immer auf einer Seite von liegen muss. Da der Zähler immer 0 ist, ist der Grenzwert 0. wozu der Formalismus, wenn es sowieso schon völlig klar ist ?
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok wie zeige ich dann, dass an der Stelle f(1/n) die Funktion unstetig ist?
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann niemand mehr weiterhelfen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

So wie man es immer macht. Finde eine Folge , so dass , aber .
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Folge würdest du da vorschlagen? smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Beispiel gibt es praktisch gesehen nur zwei Möglichkeiten die Folge zu konstruieren. Entweder oder für alle . D.h. man nähert sich einmal rechts und einmal von links an.

Eine davon ist ein passendes Gegenbeispiel. Wenn du es nicht siehst, probiere beide Richtungen einmal aus.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe glaub ich noch nicht die Funktion verstanden:

Wenn ich mich von rechts oder von links nähere kommt doch immer heraus. Die Funktion ist doch so definiert unglücklich
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir es anders. Deine Funktion ist lokal die Sigmumsfunktion. D.h. sei .

Um genau zu sein, ist es die abzählbare Summe solcher Funktionen. Damit du die Funktion verstehst, musst du zuerst verstehen.

Ich behaupte die Funktion ist in der 0 unstetig. Finde mal 2 Nullfolgen, eine immer positiv, die andere immer negativ.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für kann man die Funktion gemäß beschreiben, außerdem kann man die Ungeradheit der Funktion erkennen, das ergibt

für alle .

Der Boardplotter ist für derlei Funktionen ziemlich ungeeignet, ich wage es dennoch mal:

Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Einmal

und

Dann ist doch

und
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL Ziemlich cool. Dachte nicht, dass man es so kompakt darstellen kann

@Anna Genau. Und nun zurück zu deiner Funktion mit Problemstelle . HALs Plot könnte auch helfen.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Also rein anschaulich habe ich doch bei der Annäherung von links die "untere Stufe" , bei Annäherung von rechts die "obere Stufe".


Darf nicht zwischen den Stufen keine Verbindung sein im Graph?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. Und wie HAL angemerkt hat, kommt der Plotter mit so einer Funktion nicht gut zurecht. In "Wirklichkeit" gibt es diese Verbindungen nicht. Aber was Plotter machen, sind ganze viele Funktionswerte auswerten, und die dann mit Linien verbinden.
Deswegen sieht man auch Plot "Schrägen".
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Gutsmile

Wie kann ich das dann formal richtig hinschreiben mit der Unstetigkeit?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe die Folgen explizit hin, werte entlang den Folgen aus. Schlussfolgere die jeweiligen Grenzwerte.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Also sei

und für alle .


Dann ist lim f(a_k)=1/n
und lim f(b_k)=\frac{1}{n-1} oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die Folgen genau angeben. Also und . Und dann ist und .
Ein wenig vorsichtiger musst du schon arbeiten.

Merke: Die Funktion ist monoton wachsend. Es ist . D.h. . D.h. wenn deine Funktionswerte diese Ungleichungskette nicht erfüllen, ist etwas sehr schief gegagnen.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann habe ich es verstanden:

D.h doch auch dass und existieren ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf endlich viele existiert sogar . Aber ich denke dich interessiert und . D.h. dort wo es kritisch ist. Nicht in der Mitte der Stufe -- dort ist die Funktion differenzierbar und die Ableitung 0.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf endlich viele existiert sogar .

Wir haben gerade nachgewiesen, dass bei 1/n f'(x_n) nicht existiert. Wo existiert denn f'(x_n)?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte im Kopf gerade , welche sich annährt. Aber z.B. existiert.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade in der Aufgabe, dass man nur und prüfen soll. Dann fallen diese Betrachtungen ja weg.


Dann wäre doch und bzw.

Was wären konkret bzw.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der 0 bietet sich der "ungenaue" Plot von HAL sogar besser an als ein exakter. Man sieht wirklich wie die Ableitung NICHT in der 0 verschwindet.

Was die anderen Stellen betrifft: Du weißt sicher, dass aus Differenzierbarkeit sofort Stetigkeit folgt. Ähnlich folgt aus Links-differenzierbarkeit die Links-stetigkeit und aus der Rechts-differenzierbarkeit die Rechtsstetigkeit.

Da wir in , keine Rechtsstetigkeit vorliegen haben, kann auch nicht existieren. Die linksseitige Ableitung existiert und ist 0. Das musst du natürlich nachrechnen.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Bei der 0 bietet sich der "ungenaue" Plot von HAL sogar besser an als ein exakter. Man sieht wirklich wie die Ableitung NICHT in der 0 verschwindet.



Wie kann man das nachrechnen unglücklich verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Für kannst du sehr leicht nachrechnen, was ist. Wenn die rechtsseitige Ableitung existiert, muss es insbesondere dieser Wert sein. Für allgemeines muss man ein wenig abschätzen. Aber erst einmal das leichte.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Also es wäre doch dann:





oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Insbesondere auch für . Man sieht auch schön im Plot, dass es dort wie aussieht. Und .

Um es allgemein zu rechnen, musst du die Abschätzung für zeigen.

Dank HAL ist und dann folgt es leicht mit den elementaren Abschätzungen .
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum haben wir jetzt für die Ableitung bei 0 die Folge verwendet?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es damit besonders einfach war. Nun musst du es noch für eine allgemeine Folge zeigen.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll das für eine allgemeine folge denn gehen.
Es tut mir leid, ich verstehe insgesamt die Aufgabe sehr schlechttraurig
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wofür denkst du habe ich den Beitrag Funktionen und Ableitungen geschrieben?

Dort steht eine Abschätzung mit dem man den Differentialquotienten in der 0 allgemein bestimmen kann, und ein Weg, diese Abschätzung herzuleiten.
Anna231 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Das tut mir leid unglücklich
Da hast du ja schon alles hingeschrieben was zu tun ist.

Das war dann aber die rechtsseitige Ableitung oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Die linkssetige kann man ähnlich herleiten. Und man findet raus, dass beide den Wert 1 liefern. Insbesondere ist die Funktion in 0 differenzierbar mit Ableitung 1.
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