Integration über einen Bereich A

07.01.2018, 14:26	mathrac	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration über einen Bereich A Meine Frage: Hallo ihr lieben, es geht um die folgende Aufgabe (s. Bild). Meine Ideen: Ich habe probiert meine Integrationsbereich A zu unterteilen und dann zu integrieren, aber eines der integrale ist divergent, also existiert nicht. Nun finde ich meinen Fehler nicht. Könnte mir jemand dabei mal helfen? Was ich aufgeschrieben habe, ist auch hier als Bild hochgeladen.
07.01.2018, 15:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Geschreibsel kann ich nicht lesen, nur an ein paar Stellen erahnen. Die Schnittpunkte der Geraden $\begin{align} y=2x \end{align}$ beziehungsweise $\begin{align} y=x \end{align}$ mit der Hyperbel $\begin{align} xy=3 \end{align}$ im I. Quadranten sind $\begin{align} \left( \sqrt{\frac{3}{2}} , \sqrt{6} \right) \end{align}$ beziehungsweise $\begin{align} \left( \sqrt{3} , \sqrt{3} \right) \end{align}$ . Du solltest den Integrationsbereich unbedingt skizzieren, sonst weißt du nicht, was du tust. Bei der Integrationsreihenfolge $\begin{align} \dd y ~ \dd x \end{align}$ gilt daher $\begin{align} \int_A y^2 \dd (x,y) = \int_0^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \int_x^{2x} y^2 ~ \dd y ~ \dd x \ + \ \int_{\sqrt{\frac{3}{2}}}^{\sqrt{3}} \int_x^{\frac{3}{x}} y^2 ~ \dd y ~ \dd x \end{align}$ Und bei der Integrationsreihenfolge $\begin{align} \dd x ~ \dd y \end{align}$ gilt $\begin{align} \int_A y^2 \dd (x,y) = \int_0^{\sqrt{3}} \int_{\frac{y}{2}}^y y^2 ~ \dd x ~ \dd y \ + \ \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{6}} \int_{\frac{y}{2}}^{\frac{3}{y}} y^2 ~ \dd x ~ \dd y \end{align}$ Besser ist es, zu substituieren: $\begin{align} u = xy \, , \ \ v = y^2 \end{align}$ , oder nach $\begin{align} x,y \end{align}$ aufgelöst: $\begin{align} x = u v^{- \frac{1}{2}} \, , \ \ y = v^{\frac{1}{2}} \end{align}$ Der Integrationsbereich ist jetzt ein Dreieck: $\begin{align} 0 \leq u \leq 3 \, , \ \ u \leq v \leq 2u \end{align}$ , und auch der Integrand transformiert sich in einfacher Weise.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »