Ausdruck bestimmen

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07.01.2018, 13:35	Numerus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausdruck bestimmen Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} R:\mathbb Z\backslash 3 \end{eqnarray}$ . Bestimme $\begin{eqnarray} q(x), r(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x^5+x^4+x^3+2x+2=q(x)\cdot (x^3+x+2)+r(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r(x)=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} grad(r(x))<2 \end{eqnarray}$ Ich denke das muss irgendwie mittels Koeffizientenvergleich gelöst werden, kann das sein? Kann jemand helfen? Viele Grüße
07.01.2018, 17:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das kann nicht sein, hier ist eine Polynomdivision mit Rest gefragt. Weißt du, was mit $\begin{eqnarray} R: \mathbb Z \backslash 3 \end{eqnarray}$ gemeint ist und was das mit der Aufgabe zu tun hat ?
07.01.2018, 17:29	Numerus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, wie sieht die Division denn dann aus? Also durch was muss ich $\begin{eqnarray} x^5+x^4+x^3+2x+2 \end{eqnarray}$ teilen? Was es genau mit dem Ausdruck auf sich hat ist mir auch klar. Viele Grüße
07.01.2018, 18:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Verrate es mir, dann sage ich, was zu tun ist.
07.01.2018, 18:17	Numerus	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich $\begin{eqnarray} (x^5+x^4+x^3+2x+2) : q(x)\cdot (x^3+x+2)= \end{eqnarray}$ ... aber ich weiß ja nicht wie q(x) auszusehen hat ... Viele Grüße
07.01.2018, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte wissen, was $\begin{eqnarray} R: \mathbb Z \backslash 3 \end{eqnarray}$ sein soll . Wenn du nicht sagen kannst, in welchem Bereich du rechnest, kann ich nicht sagen, wie dort gerechnet wird. Du musst $\begin{eqnarray} x^5+... \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x^3+... \end{eqnarray}$ dividieren. Die Gleichung in der Aufgabe stimmt, das :-Zeichen ist falsch.
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07.01.2018, 19:20	Numerus	Auf diesen Beitrag antworten »
Was es damit auf sich hat weiß ich auch nicht. Dann also $\begin{eqnarray} (x^5+x^4+x^3+2x+2) : (x^2+x+2)=x^3-x+1+\frac{3x}{x^2+x+2} \end{eqnarray}$ Wie genau hilft mir das denn nun weiter bei der Bestimmung von $\begin{eqnarray} q(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r(x) \end{eqnarray}$ ?
07.01.2018, 20:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast durch x^2+... statt durch x^3+... dividiert.
08.01.2018, 14:41	Numerus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe im Eröffnungspost ausversehen eine $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ eingefügt. Es sollte irrtümlicherweise $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ lauten. Dann müsste die Polynomdivision auch stimmen. Wie komme ich denn nun an q(x) und r(x)? Viele Grüße
08.01.2018, 15:02	Numerus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dann $\begin{eqnarray} q(x)=x^3-x+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r(x)=3x \end{eqnarray}$ ? Viele Grüße
08.01.2018, 17:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dividiert hast du im Polynomring $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ , in dem ist wegen $\begin{eqnarray} A(X)=q(X)B(X)+r(X)\Leftrightarrow \frac {A(X)} {B(X)}=q(X)+\frac {r(X)} {B(X)} \end{eqnarray}$ und wegen $\begin{eqnarray} grad(r(X))<2 \end{eqnarray}$ die Welt in Ordnung. Wenn man wie in der ursprünglichen Aufgabe durch ein Polynom $\begin{eqnarray} B(X) \end{eqnarray}$ vom Grad 3 dividiert, darf man auch nur $\begin{eqnarray} grad(r(X))<3 \end{eqnarray}$ erwarten. Sollte mit dem unerklärlichen Gebilde $\begin{eqnarray} R: \mathbb Z \backslash 3 \end{eqnarray}$ in Wirklichkeit der Polynomring über dem Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3=\mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} R= \mathbb Z_3[X] \end{eqnarray}$ gemeint sein, dann ist $\begin{eqnarray} -1=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} q(X)=X^3-X+1=X^3+2X+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r(X)=3X=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} A(X) \end{eqnarray}$ sogar durch $\begin{eqnarray} B(X) \end{eqnarray}$ teilbar.

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