Grad einer Körpererweiterung

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fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »
Grad einer Körpererweiterung
Hi, ich sitze gerade vor folgender Übungsaufgabe einer Algebra & Zahlentheorie Vorlesung:

Sei .
  1. Zeigen Sie, dass irreduzibel in ist.
  2. Sei der kleinste Teilkörper von über dem in Linearfaktoren zerfällt. Bestimmen Sie .

Meine bisherigen Ansätze sind:
  1. Das Polynom ist irreduzibel nach dem Eisenstein-Kriterium für Primzahl 2, da und , aber nicht und nicht . Stimmt diese Folgerung?
  2. Zunächst habe ich die Linearfaktoren des Polynoms bestimmt:


    Daraus schließe ich, dass der aus den Nullstellen erzeugte Teilkörper von sein muss, also


    Nun weiß ich aber nicht genau wie ich weiter komme. In meinem Skript sehe ich zwei Theoreme, die mir potentiell relevant erscheinen:

    1. Sei Körper, irreduzibel und , dann ist eine endliche Körpererweiterungen vom Grad des Polynoms und hat eine Nullstelle in .

    2. Sei Körpererweiterung und algebraisch, dann ist .

    Ich sehe aber noch nicht wie genau ich die Theoreme anwenden könnte. Irgendwelche Ideen?

Vielen Dank für eure Zeit! smile
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zeige, .
Arbeite dann mit einem geeigneten Körperturm.
 
 
fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, vielen Dank für die Hilfe!

Ich habe nun gezeigt, dass , bin mir aber nicht sicher was du mit geeigneten Körperturm meinst.

Ich vermute du beziehst dich auf eine Kette von Körpererweiterungen zwischen und die Information über enthält? Möglicherweise mit der Gradformel ?
fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist meine Mutmaßung korrekt, dass , da

injektiv ist, also eine Basis ist und folglich ?
DasTraurigeJahr Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Was ist denn
fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke für die Hilfe!

Ich wollte gerade korrigieren, aber die 15min waren schon abgelaufen ;-)

Ich würde nun sagen, dass .

Ist das korrekt? Bei meiner vorherigen Mutmaßung hatte ich glaube ich den Basisvektor vergessen.
DasTraurigeJahr Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Wie kommst du auf ?
fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DasTraurigeJahr
Wie kommst du auf ?


Mein Gedanke war, dass da , also gleich der Mächtigkeit einer -Basis für . Ich dachte nun weiter, dass eine solche Basis ist, also die Dimension 2 ist.

edit: Ich habe gerade gemerkt, dass meine Lineare Algebra etwas rostig geworden ist und mein Gedanke so auf jeden Fall keinen Sinn macht...
DasTraurigeJahr Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grad der Körpererweiterung entspricht dem Grad des Minimalpolynoms von über .
fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DasTraurigeJahr
Der Grad der Körpererweiterung entspricht dem Grad des Minimalpolynoms von über .


Vielen Dank, ich stehe glaube ich etwas auf dem Schlauch.

Ich nehme an, dass das Minimalpolynom dann gerade ist.
Es scheint mir zumindest naheliegend, dass es auch den Grad 4 hat und alle Koeffizienten außer der größte und der kleinste 0 sind, da sich ansonsten die Wurzel in nicht neutralisieren lässt.
DasTraurigeJahr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich nehme an, dass das Minimalpolynom dann gerade ist.


Was ist p? Und warum schreibst du das Minimalpolynom nicht einfach hin und liest dann den Grad ab?

Was für Polynome fallen dir denn ein, die die Nullstelle haben?

Edit: Ich habe schon selber herausgefunden, was du mit p meinst. Steht in der Aufgabenstellung. Und ja. Das ist das Minimalpolynom.
fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »

Im weiteren würde ich dann schließen, dass das Minimalpolynom von über den Grad 2 hat, da die Nullstelle hat und ein Polynom von kleinerem Grade nicht in der Lage ist den imaginären Anteil von zu neutralisieren.

Folglich müsste dann .

Sind meine Schlüsse korrekt?

edit: Habe gerade deine Antwort gelesen die in der Zwischenzeit entstanden ist. Nochmals vielen Dank für deine Hilfe!
DasTraurigeJahr Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DasTraurigeJahr
Ja.


Danke für die Verifizierung!
DasTraurigeJahr Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir deine Lösung eigentlich gar nicht durchgelesen. Big Laugh
fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DasTraurigeJahr
Ich habe mir deine Lösung eigentlich gar nicht durchgelesen. Big Laugh


Auf welchem Wege kamst du dann zu der Einschätzung "Ja"? Big Laugh
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist deutlich geschickter den Körperturm zu betrachten.

Das Minimalpolynom der vierten Wurzel von 2 über den rationalen Zahlen hast du ja bereits gefunden.
Dasjenige über ist deutlich nerviger zu bestimmen. (Ich sehe hier im Thread nirgends auch nur annähernd einen Beweis dafür.)
Die rechte Inklusion ist echt (der linke Körper ist reell, der rechte nicht), daher ist der Erweiterungsgrad mind. 2. Da X²+1 i als Nullstelle hat ist es damit(!) das Minimalpolynom.
DasTraurigeJahr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Auf welchem Wege kamst du dann zu der Einschätzung "Ja"? Big Laugh


Hab geraten. Die Chance ist 50/50 und ich liebe das Risiko.
DasTraurigeJahr Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst wissen, dass ich gerne die Wahrheit strapaziere und das für Humor halte.
fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DasTraurigeJahr
Zitat:
Auf welchem Wege kamst du dann zu der Einschätzung "Ja"? Big Laugh


Hab geraten. Die Chance ist 50/50 und ich liebe das Risiko.


Super Idee! Sollte ich mir für zukünftige Gespräche merken. Die Menschen werden mich lieben... ;-)
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Da es in dem ganzen unfähigen Rumgetrolle scheinbar untergegangen ist:

Die Schlüsse sind so nicht korrekt.
fnord42 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tatmas
Da es in dem ganzen unfähigen Rumgetrolle scheinbar untergegangen ist:

Die Schlüsse sind so nicht korrekt.

Entschuldige, dass ich nicht schon früher auf deine Antwort eingegangen bin.
Nochmals vielen Dank für die Hilfe.

Zitat:
Original von tatmas
Es ist deutlich geschickter den Körperturm zu betrachten.

Das Minimalpolynom der vierten Wurzel von 2 über den rationalen Zahlen hast du ja bereits gefunden.
Dasjenige über ist deutlich nerviger zu bestimmen. (Ich sehe hier im Thread nirgends auch nur annähernd einen Beweis dafür.)
Die rechte Inklusion ist echt (der linke Körper ist reell, der rechte nicht), daher ist der Erweiterungsgrad mind. 2. Da X²+1 i als Nullstelle hat ist es damit(!) das Minimalpolynom.

Wenn ich deine Antwort richtig verstanden habe, dann müsste ich aber über den Körperturm mit schon recht nahe an einem Beweis sein. Dass das eine Minimalpolynom ist, hast du ja selbst gezeigt, wenn ich das richtig verstanden habe. Was würde denn deiner Meinung nach noch fehlen, angenommen wir hätten einen analogen Beweis dafür, dass das andere Minimalpolynom ist?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast bereits alles um den Beweis mit diesem Körperturm zu führen.
Du hast jeweils due Min.polynome und damit die Grade.
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