Differenzierbarkeit überprüfen

07.01.2018, 19:47

Kathreena

Differenzierbarkeit überprüfen

Untersuche die Funktion auf Differenzierbarkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ mithilfe der Definition.

1.) $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}x\cdot\sin\left(\frac{1}{x^{2017}}\right) & x\neq0\\ 0 & x=0\end{cases}\quad \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}x^{2018}\cdot\cos\left(ln|x|\right) & x\neq0\\ 0 & x=0\end{cases}\quad \end{eqnarray*}$

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Meine Idee:

1.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{x\cdot\sin(\frac{1}{x^{2017}}) - 0}{x-0} = \lim_{x \to x_0} \sin(\frac{1}{x^{2017}}) \end{eqnarray*}$

Wie komm ich da nun auf den Grenzwert ?

2.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0+} \frac{x^{2018}\cdot\cos(ln|x|) - 0}{x-0+} = \lim_{x \to x_0+} x^{2017}\cdot\cos(ln|x|) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0-} \frac{x^{2018}\cdot\cos(ln|x|) - 0}{x-0-} = \lim_{x \to x_0-} x^{2017}\cdot\cos(ln|x|) = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich hier von links annähere, dann kann ich ja trotzdem den $\begin{eqnarray*} ln|x| \end{eqnarray*}$ "ausrechnen", und dann den $\begin{eqnarray*} cos(ln|x|) \end{eqnarray*}$ , und das ganze mit 0 multipliziert ergibt wieder null, also differenzierbar an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

07.01.2018, 22:54

sibelius84

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Hi,

zu 2.): sieht gut aus!

Zu 1.): Dein x_0 ist doch 0. Wohin tendiert dann 1/x^2017? Was macht dann der Sinus? Existiert also der Grenzwert?

LG
sibelius84

07.01.2018, 23:10

Helferlein

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Zitat:

und das ganze mit 0 multipliziert ergibt wieder null

Es mag sibelius entgangen sein, aber die Begründung 0* irgendwas=0 trifft hier nicht zu, da es um Grenzwerte geht und die dürfen im allgemeinen nicht getrennt betrachtet werden.

Zwar geht $\begin{eqnarray*} x^{2017} \end{eqnarray*}$ gegen 0, aber $\begin{eqnarray*} cos(ln(|x|)) \end{eqnarray*}$ besitzt für x gegen 0 keinen Grenzwert. Die Begründung für die Differenzierbarkeit muss also anders lauten.

07.01.2018, 23:14

sibelius84

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Stimmt, ich hatte nur die Rechnung gelesen und für richtig befunden, und nicht den Text darunter. Da fehlt noch Begründung. Du solltest eine bestimmte Eigenschaft des Cosinus benutzen.

08.01.2018, 12:26

Kathreena

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zu 1:

$\begin{eqnarray*} 1/x^{2017} \end{eqnarray*}$ geht gegen unendlich, und der Grenzwert des Sin, im Unendlichen ist 0. $\begin{eqnarray*} \\lim_{x \to x_0} \sin(\frac{1}{x^{2017}}) = 0 \end{eqnarray*}$

Sowohl im negativen als auch im positiven.

Also ist 1 stetig Differenzierbar.

zu 2:

Hm ja vom Cos, weiß ich, das er sich immer im Intervall [-1,1] befindet.

Und der ln(0) = undef

also kann ich ja eig. nur so durch substitution rechnen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0-} x^{2017}\cdot\cos(ln|x|) = 0 \cdot k \in [-1,1] = 0 \end{eqnarray*}$

08.01.2018, 12:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
und der Grenzwert des Sin, im Unendlichen ist 0.

Unfug.

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0-} x^{2017}\cdot\cos(ln|x|) = 0 \cdot k \in [-1,1] = 0 \end{eqnarray*}$

Ebenfalls Unfug. Du solltest etwas geschickter die Beschränktheit der trigonometrischen Funktionen nutzen:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq |x \cdot sin(\frac{1}{x^{2017}})| \leq |x| \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 0 \leq |x^{2018} \cdot cos(ln(|x|)| \leq |x^{2018}| \end{eqnarray*}$

Von der rechten Seite kannst du nun jeweils den Grenzwert bilden. smile

08.01.2018, 13:23

HAL 9000

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@Kathreena

Ergänzend sei angemerkt, dass hinter klarsoweits Überlegungen der sogenannte Sandwichsatz steht. Man kann also nicht immer alles nur mit den Grenzwertregeln für die vier Grundrechenarten erschlagen, sondern muss gelegentlich auch mal sowas einbeziehen. Augenzwinkern

09.01.2018, 15:32

Kathreena

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Hey danke,

Ist $\begin{eqnarray*} 0 \leq |x \cdot sin(\frac{1}{x^{2017}})| \leq |x| \end{eqnarray*}$ die Annäherung von rechts, oder warum hast du den Betrag genommen ?

Muss ich dann für die Annäherung von links, es umschreiben in:

$\begin{eqnarray*} 0 \geq - |x \cdot sin(\frac{1}{x^{2017}})| \geq -|x| \end{eqnarray*}$

09.01.2018, 15:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
Ist $\begin{eqnarray*} 0 \leq |x \cdot sin(\frac{1}{x^{2017}})| \leq |x| \end{eqnarray*}$ die Annäherung von rechts,

Das paßt für die Annäherung von beiden Richtungen. Die Ungleichung paßt für negative wie für positive x.

Zitat:

Original von Kathreena
oder warum hast du den Betrag genommen ?

Um mir den Ärger mit der Betrachtung von Vorzeichen zu ersparen. smile

09.01.2018, 15:53

HAL 9000

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Die Alternative ohne Beträge wäre für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ gewesen

$\begin{align*} -x \leq x\cdot \sin\left( \frac{1}{x^{2017}} \right) \leq x \end{align*}$ .

Will man aber auch $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ einbeziehen, so landet man am Ende wieder bei Beträgen zumindest links und rechts:

$\begin{align*} -|x| \leq x\cdot \sin\left( \frac{1}{x^{2017}} \right) \leq |x| \end{align*}$ .

Auch hier würde ein Sandwich greifen.

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