Maximaler Definitionsbereich

Neue Frage »

user425 Auf diesen Beitrag antworten »
Maximaler Definitionsbereich
[attach]46202[/attach]

Mit welcher Lösungsart würdet ihr das lösen, oder würdet ihr eine ganz andere Methode verwenden?

Wie kommt man von -1 = z= cos 2x <=> 2x = pi + 2kpi , wenn es doch -1 ist und nicht 1....

Wieso steht pi/6 erst am Anfang , dann am Ende??

Und wie würdet man die Alternativlösung ganz ausführen???

Wäre nett, wenn ihr mir helfen würdet...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximaler Definitionsbereich
Ich würde so vorgehen:




Jetzt mußt du nur die Nullstellen von (cos(x))^2 und die Ungleichung 1 - 2cos(2x) < 0 lösen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximaler Definitionsbereich
Zitat:
Original von user425
Wie kommt man von -1 = z= cos 2x <=> 2x = pi + 2kpi , wenn es doch -1 ist und nicht 1

Was willst du damit sagen? Erstaunt1

Die Kosinusfunktion nimmt im Grundintervall nur einmal ihr Minimum -1 an, und das an der Stelle , auf ganz also der Periodizität wegen an den Stellen - mehr wird hier nicht genutzt.

user425 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximaler Definitionsbereich
Bei +1 würde es doch genauso heißen , oder? Und wieso wird für die Nullstelle = -1/2 arcfunktion genutzt? Etwa weil es eine negative Zahl ist?
user425 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximaler Definitionsbereich
Und, was muss man danach machen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist eigentlich schon jemand aufgefallen, dass das oben im Scan falsch ist? Da fehlt ca. die Hälfte aller Intervalle, richtig ist . geschockt
 
 
user425 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das steht da auch... Die letzten Kommentare /Fragen sind natürlich weiterhin offen..
Wäre nett , wenn ihr mir da helfen könntet..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von user425
Genau das steht da auch...

Nein, steht da ja eben nicht! unglücklich

----------------------------------------------------

Zu deinen Fragen: Zu bestimmen sind alle (!) reellen mit .



Da muss man sich eben schon ein paar Gedanken machen über

1) Den Verlauf der Standardkosinusfunktion im Intervall , wo die Umkehrung der ist, und was das für die Lösungen von (*) im Intervall bedeutet.

2) Die Geradheit der Kosinusfunktion liefert dann direkt auch die Lösungen von (*) in durch Spiegelung der Lösungen von 1).

3) Die Periodizität liefert kombiniert mit 1),2) schließlich alle reellen Lösungen.
user425 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximaler Definitionsbereich
Zitat:
Original von klarsoweit
Ich würde so vorgehen:




Jetzt mußt du nur die Nullstellen von (cos(x))^2 und die Ungleichung 1 - 2cos(2x) < 0 lösen.


Wie kommst du von zu


Und ist die Nullstelle der Ungleichung 1-2cos(2x) nicht cos2x = pi/2 und von cos^2(x)= pi/2??

Wäre nett , wenn du mir weiterhelfen könntest
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von user425
Und ist die Nullstelle der Ungleichung 1-2cos(2x) nicht cos2x = pi/2

So ein Unsinn, rechts verwurstelst du sogar noch Winkel und Winkelfunktionswerte. unglücklich

Die Nullstelle von löst die Gleichung , und diese Lösung ist , durch 2 dividiert ergibt das

,

in meiner Skizze oben sind das die x-Koordinaten der Schnittpunkte von blauer Geraden und roter Kosinuskurve.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximaler Definitionsbereich
Zitat:
Original von user425
Wie kommst du von zu

Nutze sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x) und sin²(x) = 0,5 * (1 - cos(2x)) . smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein paar Worte noch zu der oben im Scan angegebenen Lösung. Im Grunde genommen finde ich die vom Vorgehen ganz gut, wenn da nicht ein paar ärgerliche Fehler wären:

1) Die Definitionsmenge der Funktion ist nicht , sondern , d.h., selbst wenn man abkürzend setzt, so umfasst die , nicht die .

2) Über die Fehler beim letztendlichen Zusammenbau dieser Menge hatte ich oben schon gesprochen ("Hälfte der Intervalle vergessen").


Und zu der Schlussbemerkung im Scan: Ob die Alternativlösung wirklich "einfacher" ist, darüber lässt sich trefflich streiten. Das ganze mit ausgedrückt führt m.E. zu komplizierteren Termen als die vergleichsweise einfache Darstellung nur mit .
user425 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximaler Definitionsbereich
Wieso steht da 4*(sin(x))^2(cos(x)^2 müsste da nicht eine 2 vor stehen (2*...)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

, und . Augenzwinkern
user425 Auf diesen Beitrag antworten »

Und , was ich leider auch nicht nachvollziehen kann ist:

sin²(x) = 0,5 * (1 - cos(2x))

Aber da steht -cos(x)^2 nach 4(sin(x))^2 (cos(x))^2

Wäre nett , wenn du mir da auch helfen könntest..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von user425
Und , was ich leider auch nicht nachvollziehen kann ist:

sin²(x) = 0,5 * (1 - cos(2x))

Das basiert ebenfalls auf Additionstheoremen, schau da nach.

Zitat:
Original von user425
Aber da steht -cos(x)^2 nach 4(sin(x))^2 (cos(x))^2

Mir ist nicht genau klar, was du damit sagen willst. Falls du diese Umformung

Zitat:
Original von klarsoweit

meinst: Hier wird einfach ausgeklammert (sprich: Distributivgesetz). Erst dann wird rechts das obige eingesetzt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Argument des Logarithmus kann man noch anders schreiben:



besitzt die Periode . Es genügt daher, ein Intervall der Länge zu betrachten, für das Weitere ist zweckmäßig. Für die Nullstellen von zeichnen die Faktoren und verantwortlich. wird 0 bei , und wird 0 bei sowie bei .
Damit sind einfache Nullstellen und doppelte Nullstelle von . Die Nullstellen dritteln . Im Innern des ersten Drittels ist , im Innern des zweiten und dritten Drittels ist , zwischen dem zweiten und dritten Drittel findet kein Vorzeichenwechsel statt, weil doppelte Nullstelle ist.

Die Definitionsmenge von ist daher



[attach]46271[/attach]

Das entspricht HALs Lösung, wenn man in seiner Vereinigung das zweite Vereinigungsglied zum Index mit dem ersten Vereinigungsglied zum Index zusammenfaßt.
user425 Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, dass ich zu so einer alten Frage noch eine Frage stelle, aber wieso muss man (cos(x))^2(4(sin(x))^2) weiter vereinfachen . Kann man es nicht schon so auflösen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Terme man kann nicht auflösen, allenfalls vereinfachen. Wieso du dir ausgerechnet aus irgendeinem Beitrag hier einen Term rauspickst, der meilenweit von der Lösung der eigentlichen Problemstellung entfernt ist, wirst wohl nur du wissen...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »