Komplemente in einem Verband

08.01.2018, 11:01	Krischon	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplemente in einem Verband Meine Frage: Hi zusammen, ich habe einen Verband gegeben (siehe Bild): $\begin{eqnarray} (V,\leq ) \end{eqnarray}$ Ich möchte nun zu jedem Element aus V die Menge der Komplemente von v angeben. Abschließend möchte ich noch zeigen, ob dieser verband eine Boolesche Algebra ist. Meine Ideen: Zuerst zu den Komplementen: Wir wissen, dass für das Komplement gilt: $\begin{eqnarray} x \in M. y \in M \end{eqnarray}$ heißt Komplement von x gdw. $\begin{eqnarray} <br /> x \wedge y = min(M) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \vee y = max(M) \end{eqnarray}$ Also haben wir 1. Für Element A (unterster Punkt) gilt: $\begin{eqnarray} A^{c} = {E} \end{eqnarray}$ , da ich mit {A;E} jeweils das größte/kleinste Element erreiche. 2. Für Element B gilt: $\begin{eqnarray} B^{c} = {C} \end{eqnarray}$ . Analog für D. 3. Für Element C gilt: $\begin{eqnarray} C^{c} = {B,D} \end{eqnarray}$ 4. Für Element E gilt: $\begin{eqnarray} E^{c} = {A} \end{eqnarray}$ Hab ich das richtig verstanden? Die Komplemente sorgen dafür, dass ich sowohl das größte als auch das kleinste Element des Verbandes erreiche, oder? Damit ist dieser Verband komplementiert. Weiter zur Booleschen Algebra: Damit er zu einer Booleschen Algebra wird, muss er noch distributiv sein und das größte nicht gleich dem kleinsten Element sein. (letzteres ist klar) Distributiv: Gibt es da einen Weg schneller zu sehen, dass das gilt? Nach ausrechnen (jeweils das Distributivgesetz angewendet...) erhalte ich, dass dieser Verband distributiv ist. Damit ist er dann ja eine Boolesche Algebra. Korrekt? (das werde ich dann natürlich formal korrekt nochmal aufschreiben Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen Zu dem Beweis der Distributivität: Seien x,y,z aus M. Da wir ja wissen, dass all diese Elemente Komplemente besitzen, kann ich die Def vom Komplement anwenden: $\begin{eqnarray} x\wedge (y\vee z) = x\wedge min(M) = min(M) \end{eqnarray}$ gleichermaßen ist aber $\begin{eqnarray} (x\wedge y)\vee (x\wedge z) = min(M)\vee min(M) = min(M) \end{eqnarray}$ Analog die zweite Distributivität. Damit ist dieser Verband distributiv. Wobei ich mich frage, kann ein Verband distributiv aber nicht komplementär sein? Lieben Gruß Krischon PS: Die Mengenklammern nimmt er irgendwie raus...

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