Rechnen mit Idealen

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08.01.2018, 23:09	Moni12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen mit Idealen Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} m=a^2+b^2 \end{eqnarray}$ Summe zweier Quadrate und a ungerade und a und b teilerfremd (das heißt a und 2b sind teilerfremd). Zeige, dass $\begin{eqnarray} \left(a, b+\sqrt{m}\right)^2 = \left(b+\sqrt{m}\right) \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> \left(a, b+\sqrt{m}\right)^2 &=\,\,\,\Big\langle a^2,\,\,\,\left(b+\sqrt{m}\right)^2,\,\,\,ab+a\sqrt{m} \Big\rangle <br /> \\&=\,\,\,\Big\langle m-b^2,\,\,\,\left(b+\sqrt{m}\right)^2,\,\,\, a\cdot \left(b + \sqrt{m}\right)\Big\rangle \\&=\,\,\,\Big\langle b + \sqrt{m}\Big\rangle \cdot\Big\langle -b+\sqrt{m},\,\,\,b+\sqrt{m},\,\,\, a\Big\rangle <br /> \\&=\,\,\,\Big\langle b + \sqrt{m}\Big\rangle \cdot\Big\langle 2b,\,\,\, a,\,\,\,b+\sqrt{m}\Big\rangle <br /> \\&\overset{????}{=}\,\,\,\Big\langle b + \sqrt{m}\Big\rangle \cdot\Big\langle 1,\,\,\, a,\,\,\,b+\sqrt{m}\Big\rangle <br /> \\&\overset{}{=}\,\,\,\Big\langle b + \sqrt{m}\Big\rangle \end{eqnarray}$ Da 2b und a teilerfremd sind, sollte eigentlich leicht zu zeigen sein, dass $\begin{eqnarray} \langle 2b, a \rangle = \langle 1\rangle . \end{eqnarray}$ Wenn ich Zahlen einsätze funktioniert das auch immer, aber ich habe keine Idee, wie das formal zu zeigen ist. Wäre super, wenn irgendjemand von euch eine Möglichkeit sieht
09.01.2018, 00:48	tamtams	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte überprüfe deinen Code. So kann man dir nicht helfen.
09.01.2018, 08:30	Monk	Auf diesen Beitrag antworten »
War leider nicht angemeldet, deswegen kann ich die vorherige Nachricht nicht mehr verändern. Sie sah aber in der Vorschau richtig aus. Naja hier der neue Versuch: Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} m=a^2+b^2 \end{eqnarray}$ Summe zweier Quadrate und a ungerade und a und b teilerfremd (das heißt a und 2b sind teilerfremd). Zeige, dass $\begin{eqnarray} \left(a, b+\sqrt{m}\right)^2 = \left(b+\sqrt{m}\right) \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \left(a, b+\sqrt{m}\right)^2 =\Big\langle a^2,\,\left(b+\sqrt{m}\right)^2,\,ab+a\sqrt{m} \Big\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\Big\langle m-b^2,\,\left(b+\sqrt{m}\right)^2,\, a\cdot \left(b +\sqrt{m}\right)\Big\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\Big\langle b + \sqrt{m}\Big\rangle \cdot\Big\langle -b+\sqrt{m},\,b+\sqrt{m},\, a\Big\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\Big\langle b + \sqrt{m}\Big\rangle \cdot\Big\langle 2b,\,a,\,b+\sqrt{m}\Big\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overset{??}{=}\Big\langle b + \sqrt{m}\Big\rangle \cdot\Big\langle 1,\, a,\,b+\sqrt{m}\Big\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\Big\langle b + \sqrt{m}\Big\rangle \end{eqnarray}$ Da 2b und a teilerfremd sind, sollte eigentlich leicht zu zeigen sein, dass $\begin{eqnarray} \langle 2b, a \rangle = \langle 1\rangle . \end{eqnarray}$ Wenn ich Zahlen einsätze funktioniert das auch immer, aber ich habe keine Idee, wie das formal zu zeigen ist. Wäre super, wenn irgendjemand von euch eine Möglichkeit sieht smile
09.01.2018, 13:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Armin Leutbecher Seite 13, Satz 3: $\begin{eqnarray} ggT(a,b)\mathbb Z=a\mathbb Z+b\mathbb Z \end{eqnarray}$ ( https://www.amazon.de/Zahlentheorie-Eine...ader_3540587918 )
09.01.2018, 21:40	Monk	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deinen Hinweis. Also leider bin ich kein Experte auf dem Thema. Deswegen weis ich nicht genau, wie mir der Satz hilft. Ich weiß, dass da 2b und a teilerfremd sind, gilt ggT(2b,a) = 1. Aber warum folgt daraus $\begin{eqnarray} \langle 2b, a \rangle = \langle 1 \rangle \end{eqnarray}$ Das Problem ist, dass ich nicht weis, wie Ideale und ggT zusammenhängen.
09.01.2018, 21:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst kein Experte sein um die eine Seite im Buch zu lesen.
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10.01.2018, 07:12	Monk	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja Satz 3 besagt $\begin{eqnarray} a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = 1\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Aber da steht leider nichts zu Idealen. Vielleicht liegt mein Problem darin, dass ich nicht genau weiß, was $\begin{eqnarray} a\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ bedeutet. Ein Satz zur Erklärung wäre sehr nett
10.01.2018, 08:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nicht weißt, was Ideale sind, kannst du nicht damit rechnen. Ideale in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ sind genau die Hauptideale $\begin{eqnarray} m\mathbb Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m\in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ . Es schadet nicht, statt eines Satzes drei Seiten zu lesen.
10.01.2018, 16:05	Monk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte vor 7 Jahren mal Lineare Algebra 1 und 2 und versuche nur meiner Schwester bei einem Problem zu helfen. Ich habe sogar sehr viel mehr als nur 3 Seiten des Kapitels gelesen aber da ist nie die Rede von Idealen .... Vielen dank für deine überaus nette Hilfe
10.01.2018, 18:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, bevor Leutbecher den Satz 3 beweist, bespricht er alle Ideale von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Er nennt sie Untergruppen, was Ideale ja auch sind, und eine Seite vor Satz 3 steht der Satz 2 (Untergruppen von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ). Die Form dieser Untergruppen $\begin{eqnarray} m\mathbb Z \end{eqnarray}$ lässt spontan die Erkenntnis reifen, dass das Hauptideale, also Ideale sind. Erinnere : Ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein kommutativer Ring und $\begin{eqnarray} r\in R \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} rR \end{eqnarray}$ ein Hauptideal ( https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptideal )
11.01.2018, 00:55	Monk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht tatsächlich Sinn und ich verstehe es endlich Vielen Dank für deine Hilfe

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