Eigenwerte

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09.01.2018, 13:49

mechanic

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Eigenwerte

Hallo alle zusamen ,hat jemand tipps für mich für diese Aufgabe.

Komme schon zu beginn nicht weiter ? Big Laugh

09.01.2018, 15:05

HAL 9000

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Naja, der Hinweis ist doch klar und deutlich:

Setze den vorgeschlagenen Ansatz in die DGL ein und ermittle dadurch passende Kandidaten für $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ , es sind tatsächlich zwei.

Dann setze an $\begin{align*} y(x) = c_1 x^{\alpha_1} + c_2 x^{\alpha_2} \end{align*}$ und schau, ob $\begin{align*} y(1)=0,y(2)=0 \end{align*}$ für ein Parameterpaar $\begin{align*} (c_1,c_2)\neq (0,0) \end{align*}$ erfüllbar ist.

09.01.2018, 16:34

mechanic

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x= 1 eingesetzt in DGL:

$\begin{eqnarray*} (y')' = \lambda *y \end{eqnarray*}$

x= 2
$\begin{eqnarray*} (2*y')' = \frac{\lambda }{2} *y \end{eqnarray*}$

Ja aber wie ist die weitere Vorgehensweise ?

09.01.2018, 16:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von mechanic
x= 1 eingesetzt in DGL:

Was ist das denn für ein Blödsinn? Du sollst nicht $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} y=x^{\alpha} \end{align*}$ in die DGL einsetzen, samt allen Ableitungen und was so dazugehört.

09.01.2018, 17:46

mechanic

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$\begin{eqnarray*} (x^{alpha})' = \frac{\lambda }{x} * x^{alpha} \end{eqnarray*}$

Was weiter?

09.01.2018, 17:53

HAL 9000

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Mach das bitte ordentlich: Da steht NICHT $\begin{align*} y' = \frac{\lambda}{x}\cdot y \end{align*}$ sondern $\begin{align*} (xy')' = \frac{\lambda}{x}\cdot y \end{align*}$ . unglücklich

Und rechne die Ableitungen echt aus.

09.01.2018, 18:38

sex

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x^{a}

ist die Ableitung nicht die selbe ?

09.01.2018, 18:42

HAL 9000

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Auwei ... na dann Wiederholung der Grundkenntnisse Analysis: $\begin{align*} (x^{\alpha})' = \alpha\cdot x^{\alpha-1} \end{align*}$

09.01.2018, 19:32

sexbaby

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$\begin{eqnarray*} (alpha*x^{alpha-1})' = \frac{\lambda }{x} * x^{alpha} \end{eqnarray*}$

Soll ich jetzt die linke Seite nochmal ableiten oder wie ?

$\begin{eqnarray*} alpha^2-alpha*x^{alpha-1} = \frac{\lambda }{x} * x^{alpha} \end{eqnarray*}$

Was müsste ich als nächstes machen ?

geschockt

09.01.2018, 21:24

HAL 9000

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Links steht nicht $\begin{align*} (y')' \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} (xy')' \end{align*}$ . Deine Konzentration kann ich wirklich nur erbärmlich nennen, ein einfacher Fehler nach dem anderen. unglücklich

$\begin{align*} y=x^{\alpha} \end{align*}$ eingesetzt ergibt sich links

$\begin{align*} \left(xy'\right)' = \left(x\cdot \alpha x^{\alpha-1}\right)' = \left(\alpha x^\alpha\right)' = \alpha^2 x^{\alpha-1} \end{align*}$

und rechts

$\begin{align*} \frac{\lambda}{x}y = \frac{\lambda}{x} x^{\alpha} = \lambda x^{\alpha-1} \end{align*}$ .

Das ergibt somit $\begin{align*} \alpha^2 x^{\alpha-1} = \lambda x^{\alpha-1} \end{align*}$ , was für alle $\begin{align*} 1<x<2 \end{align*}$ erfüllt sein muss. Was bedeutet das für $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ ?

09.01.2018, 22:00

Sex

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Das a jeden Wert einnehmen kann ?

09.01.2018, 22:25

HAL 9000

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Nein, es bedeutet Bedingung $\begin{align*} \alpha^2=\lambda \end{align*}$ , was bei vorgegebenen $\begin{align*} \lambda>0 \end{align*}$ zwei mögliche Lösungen hat: $\begin{align*} \alpha_1=\sqrt{\lambda} \end{align*}$ und $\begin{align*} \alpha_2=-\sqrt{\lambda} \end{align*}$ .

Mit deiner Ratestrategie wirst du nicht sonderlich weit kommen - versuch doch bitte mal, ernsthaft hier nachzudenken.

09.01.2018, 22:44

sexbaby

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Wie kommst du auf a^2 = lambda ?

Wie bist du darauf gekommen ?

09.01.2018, 22:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das ergibt somit $\begin{align*} \alpha^2 x^{\alpha-1} = \lambda x^{\alpha-1} \end{align*}$

$\begin{align*} x^{\alpha-1} \end{align*}$ steht auf beiden Seiten der Gleichung. Sie gilt also genau dann, wenn auch die Vorfaktoren $\begin{align*} \alpha^2 \end{align*}$ links und $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ rechts einander gleich sind.

Im übrigen darf jetzt gern ein anderer Helfer hier übernehmen.

09.01.2018, 23:59

sex

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Ah danke jetzt verstehe ich es .

Damit bin ich ja auch eigentlich mit der Aufgabe fertig oder ?

Oder in welche Gleichungen muss ich jetzt genau die Randbedingungen einsetzen?

10.01.2018, 07:57

Cel

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Zitat:

Original von sex
Ah danke jetzt verstehe ich es .

Offenbar leider nicht. unglücklich

Was hast du denn jetzt gezeigt? Dass eine Lösung nicht existiert? Nein, das fehlt noch.

HAL hat doch in seinem ersten Beitrag explizit gesagt, was zu tun ist. Du hast zwei Lambdas, kannst also den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = c_1x^{\alpha_1} + c_2x^{\alpha_2} \end{eqnarray*}$ nutzen, um die $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ auszurechnen. Sie müssen ungleich 0 sein, damit es eine Lösung gibt.

Übrigens: bleibe bitte bei einem Namen, das erleichtert das Verfolgen des Threads - außerdem ist dein erstgenannter deutlich geeigneter als die sex-Variationen der letzten Beiträge. Ein gewisse Seriösität möchten wir halten, ich könnte mir vorstellen, dass HAL auch deswegen ausgestiegen ist (mal abgesehen von deiner Weigerung, konkrete Vorschläge umzusetzen).

10.01.2018, 09:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cel
ich könnte mir vorstellen, dass HAL auch deswegen ausgestiegen ist

Nein, das war mir nur den Gedanken wert "wenn er doch nur ein bisschen von der Energie, die er in die Erfindung neuer Nutzernamen steckt, in das Nachdenken über die Problemstellung stecken würde".

10.01.2018, 09:44

Ehos

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Als Ergänzung beweise ich die Aussage mal ohne expliziten Bezug auf die Eigenfunktionen.
------------------------
Satz:
Der Operator $\begin{eqnarray*} Dy=x(xy')' \end{eqnarray*}$ mit (y(1)=y(2)=0 hat keine positive Eigenwerte.

Beweis:
Wir betrachten folgendes Skalarprodukt mit der Gewichtsfunktion $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [y_1|y_2]=\int_1^2\tfrac{1}{x}\cdot y_1y_2\,\,dx \end{eqnarray*}$

Offenbar ist der Operator D bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert, woraus folgt, dass alle Eigenwerte reell sind. Skalare Multiplikation der Eigenwertgleichung $\begin{eqnarray*} \lambda y=Dy \end{eqnarray*}$ mit der Eigenfunktion y ergibt mit dem obigen Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} \lambda\cdot [y|y]=[Dy|y]=\int_1^2\tfrac{1}{x}\cdot x(xy')'y\,\,dx=\int_1^2(xy')'y\,\,dx=\underbrace{-\int_1^2xy'^2\,\,dx}_{\text{nach partieller Integration}} \end{eqnarray*}$

Im letzten Schritt wurde partiell integriert, wobei die Randterme wegen der obigen Randbedingungen verschwinden. Der Integrand xy'² auf der rechten Seite ist positiv, so dass die rechte Seite insgesamt negativ wird. Andererseits ist das Betragsquadrat [y|y] auf der linken Seite positiv. Also kann $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nicht positiv sein.

10.01.2018, 10:10

HAL 9000

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@Ehos

Auch wenn es der Threadersteller vermutlich nicht zu würdigen weiß - von mir vielen Dank für diesen alternativen Blick auf die Problemstellung. Ein Genuss nach dem bisherigen Kleinklein im Thread. Freude

10.01.2018, 10:25

Ehos

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@ Hal 9000
Danke. In der Tat ist es mitunter anstrengend für den Helfer, wenn der Fragesteller wenig Lust hat mitzudenken.

10.01.2018, 18:06

Bison666

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Die Aufgabe viel mir schwer .

Danke Leute für eure Hilfe

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