Reelle Potenzreihe, Randpunkte

09.01.2018, 19:01

Kathreena

Reelle Potenzreihe, Randpunkte

Bestimme die Konvergenzintervalle der folgenden reellen Potenzreihen und unter-
suche das Konvergenzverhalten in den Randpunkten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(3(-1)^n+5)^n}{3^n} \cdot (x+2)^n \end{eqnarray*}$

_______________________________________________________

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(3(-1)^n+5)^n}{3^n} \cdot (x+2)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_0 = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(3(-1)^n+5)^n}{3^n} \end{eqnarray*}$

Wie bestimme ich hier, oder definiere, was mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ passiert, wenn n= ungerade, und was wenn n= gerade, damit ich den Konvergenzradius bestimmen kann ? Oder wie geht man hier vor.

09.01.2018, 21:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathreena
Wie bestimme ich hier, oder definiere, was mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ passiert, wenn n= ungerade, und was wenn n= gerade

Wie groß ist denn $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ in diesen beiden Fällen? Na setz das doch jeweils ein und vereinfache dann!

10.01.2018, 16:13

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, soweit bin ich auch gekommen:

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}\frac{2^n}{3^n} & n = ungerade\\ \frac{8^n}{3^n} & n = gerade\end{cases}\quad \end{eqnarray*}$

Warum, muss ich nun nur für n=gerade, den Konvergenzradius ausrechnen ? und nicht für beide Fälle.

Der wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

Konvergenz Intervall ist dann $\begin{eqnarray*} (x_0 = 2) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x \in [\frac{3}{8} -2, \frac{3}{8} +2] \end{eqnarray*}$

Randpunktuntersuchung, ok ich weiß das ich die beiden Randpunkte in $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ einsetzen soll, und dann schaun muss, ob die Reihe konvergiert.

In meinem Fall halt:
$\begin{eqnarray*} |x+2| = \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

n=gerade
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(3(-1)^n+5)^n}{3^n} \cdot (\frac{3}{8})^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n}\cdot (\frac{3}{8})^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n}\cdot (\frac{3}{8})^n \end{eqnarray*}$ Absolute Konvergenz

n=ungerade
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8^n}{3^n}\cdot (\frac{3}{8})^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 1^n \end{eqnarray*}$ Keine Nullfolge, also Divergenz

10.01.2018, 17:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathreena
Warum, muss ich nun nur für n=gerade, den Konvergenzradius ausrechnen ? und nicht für beide Fälle.

Welchen Sinn sollen denn zwei Ergebnisse dann haben? Zwei verschiedene Konvergenzradien für ein- und dieselbe Potenzreihe??? Das ist widersinnig. unglücklich

Die Rechnung gemäß Cauchy-Hadamard-Formel ergibt eben

$\begin{align*} R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} = \frac{1}{\max\left\{\frac{2}{3},\frac{8}{3}\right\}} = \frac{1}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{8} \end{align*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Reelle Potenzreihe, Randpunkte

Verwandte Themen