Normen und Skalarprodukt in C²

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chengming92 Auf diesen Beitrag antworten »
Normen und Skalarprodukt in C²
Hallo an euch alle,
folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten.

||x + y||² = ||x||² + ||y||² <=> x, y sind orthogonal

Zeigen Sie mithilfe eines Gegenbeispiels, dass diese Aussage in nicht gilt.


Meine Ideen

||x + y||² = <x + y, x+ y> = <x, x> + <x,y> + <y,x> + <y,y> = ||x||² + ||y||² + <x,y> + <y,x>

=> <x,y> +<y,x> = 0 <=> <x,y> = <y,x> = 0 => x, y sind orthogonal

ich finde noch keine Lösung für <x,y> nicht = <y,x> nicht = 0 damit x y noch orthogonal sind.
Ich würde mich über schnelle Hilfe sehr freuen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo chengming92,

es ist möglich, dass nur eine Richtung der Äquivalenz in falsch ist. Du müsstest also versuchen, x, y so zu finden,

- entweder: dass x, y orthogonal und aber ||x+y||² ungleich ||x||²+||y||²,
- oder: dass ||x+y||² = ||x||²+||y||², aber x und y nicht orthogonal.

(Bei einem von beiden kannst du relativ schnell feststellen, dass das nicht geht - beachte: x,y orthogonal bedeutet gerade <x,y>=0 -, und dich dann auf die Suche nach einem Beispiel für das andere machen. Da solltest du natürlich die Unterschiede von und irgendwie miteinbeziehen.)

LG
sibelius84
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