Limes superior

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Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »
Limes superior
Hallo,
es geht um folgende Menge, die ich nicht ganz verstehe:




Beispielsweise sei

Dann ist


Kann mir vllt jmd erklären wie diese Menge funktioniert, vor allem wie ist dieses zu verstehen?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

wählen wir als Standardbeispiel mal die Folge . Hier sind die Suprema immer besonders schön einfach zu bestimmen, weil die Folge monoton fallend ist. Natürlich gilt

.

Wenn wir jetzt unser n aber nicht ab 1, sondern beispielsweise erst ab 2 laufen lassen, so erhalten wir natürlich ein anderes Supremum:

.

E1ne Stufe allgeme1ner gilt nun eben

.

Und das, was da auf der linken Seite steht, erhält nun eben den Namen . Das ist hier nicht besonders spannend; wegen der Monotonie ist einfach .

Weißt du, wie aussieht, wenn ?

Diese Konstruktion ist übrigens nützlich, um den "Limes superior" zu definieren: (ggf. im uneigentlichen Sinne).

LG
sibelius84
 
 
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir smile
Ich denke ich verstehe essmile

Müssen dann nicht die letzten beiden Zeichen kleiner Zeichen andersrum sein, also

Also zu deinem letzten Beispiel:

sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Zeichen sind schon korrigiert. smile

0 stimmt! Musst nur den "lim" weglassen, also (und daher dann auch ).
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir. Ich habs verstandensmile

Gute nacht dir Wink Freude
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habe doch noch eine Frage.
Es gilt ja auch für den limes superior folgende gleichwertige Definition:

Wie kann ich das verstehen?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ich antworte dir mal so Augenzwinkern :

Wählen wir als Standardbeispiel mal die Folge . Hier sind die Infima immer besonders schön einfach zu bestimmen, weil die Folge monoton steigend ist. Natürlich gilt

.

Wenn wir jetzt unser n aber nicht ab 1, sondern beispielsweise erst ab 2 laufen lassen, so erhalten wir natürlich ein anderes Infimum:

.

E1ne Stufe allgemeiner gilt nun eben

.

Und das, was da auf der linken Seite steht, erhält nun eben den Namen . Das ist hier nicht besonders spannend; wegen der Monotonie ist einfach .

Weißt du, wie aussieht, wenn ?

Diese Konstruktion ist übrigens nützlich, um den "Limes inferior" zu definieren: (ggf. im uneigentlichen Sinne).
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
ich danke für deine Antwort, aber ich meine das folgende:




Also die Kombination aus inf sup?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Gleichheit beider Definitionen des Limes Superior:

Es ist für monoton fallende Folgen , und ist ja monoton fallend schon per definitionem.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, völlig falsch verstanden. Ich sollte wohl besser schlafen gehen.
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich meine das:



sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist leider falsch. Richtig wäre



und

.
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt dankesmile
Ok dann ist wie HAL gesagt hat per Definition bk monoton fallend und der Grenzwert von bk ist dann das inf davon oder?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich denke, da kannst du HAL schon vertrauen Augenzwinkern
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch smile
Jetzt habe ich es wirklich verstanden smile smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss man nicht blind vertrauen, man sollte verstehen, warum für gilt:

Wenn man das Supremum über eine größere Menge (hier wäre das A) bildet, dann gehen da alle Werte der kleineren Menge (hier ) ein und ggfs noch ein paar mehr. Damit muss dieses Supremum mindestens so groß sein wie das über die kleinere Menge.

Im vorliegenden Fall ist und , es ist also , und damit .
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