Polynom im Körper F2

10.01.2018, 13:54	tomrb	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom im Körper F2 Meine Frage: Ich habe folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} f(X) = X^{6} - 2X^{4} - X^{2} + 2 \in K[X] \end{eqnarray}$ und möchte diese in $\begin{eqnarray} K = F_{2} \end{eqnarray}$ bringen. Meine Ideen: Ich habe bereits folgenden Ansatz, da im Körper F2 nur 0 und 1 vorkommt, rechnet man mit mod 2 und ausklammern bringt: $\begin{eqnarray} X^{6} - X^{2} = X^{2}(X^{4} - 1) \end{eqnarray}$ Meine Frage nun, ist das Polynom bereits in F2 oder müsste man noch weiter umformen?
10.01.2018, 14:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der 2. Faktor ist eine Differenz zweier Quadrate, den kannst du noch weiter faktorisieren. Das kann man sogar als Produkt linearer Faktoren darstellen.
10.01.2018, 17:22	tomrb	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} f(X) = X^{2}(X^{2}X^{2} - 1) \end{eqnarray}$ ?
10.01.2018, 17:28	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du schreibst selbst $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ hat nur die Elemente 0 und 1. Also explizit nicht -1. Wieso verwendest du es dann? (Man kann es schon verwenden, man sollte halt wissen warum). Ferner ist deine Frage sehr seltsam gestellt. Man kann keine Gleichung (und du hast keine Gleichung sondern ein Polynom) in einen Körper bringen. Dieses Idiom gibt es in der Mathematik nicht. Was ist also die exakte Fragestellung? Du scheinst faktorisieren zu wollen Ist das so? Dann solltest du für deinen Teiler vom Grad 4 Nullstellen suchen (du hast eh nur 2 Möglichkeiten) oder an die binomischen Formeln denken.
10.01.2018, 17:39	tomrb	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Also zur korrekten Fragestellung: ich möchte das Polynom $\begin{eqnarray} f(X) = X^{6} - 2X^{4} - X^{2} + 2 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ als Produkt von Polynomen aus K[X] darstellen in $\begin{eqnarray} K = F2 \end{eqnarray}$ . Ich hätte bei dem Polynom $\begin{eqnarray} X^{4} - 1 \end{eqnarray}$ nur 1 oder -1 als Nullstelle. Als binomische Formel dargestellt wäre dies $\begin{eqnarray} (X^{2} - 1)(X^{2} +1) \end{eqnarray}$
10.01.2018, 17:42	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit richtig. Die haben noch mehr Nullstellen. Bzw. kann man nochmal binomische Formeln anwenden. Und was ist mit der -1?
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10.01.2018, 17:51	tomrb	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (X^{2} - 1)(X^{2} + 1) = (X - 1)(X + 1)(X - \sqrt{-1})(X + \sqrt{-1}) \end{eqnarray}$ Also -1, +1, $\begin{eqnarray} - \sqrt{-1}, \sqrt{-1} \end{eqnarray}$
10.01.2018, 18:02	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, richtig.
10.01.2018, 18:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip richtig. Nun ist aber auch schon gesagt worden, dass $\begin{eqnarray} -1=1 \end{eqnarray}$ gilt, also ist $\begin{eqnarray} \sqrt {-1}=\sqrt 1=1 \end{eqnarray}$ . Die Faktorisierung ist also $\begin{eqnarray} X^6-X^2=X^2(X+1)^4 \end{eqnarray}$ . Es gibt in $\begin{eqnarray} \mathbb F_2[X] \end{eqnarray}$ nur die beiden linearen Faktoren $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X+1 \end{eqnarray}$ .

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