Teilmenge einer kompakten Teilmenge ist kompakt

10.01.2018, 16:09	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmenge einer kompakten Teilmenge ist kompakt Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} K \subset \mathbb C \end{eqnarray}$ kompakt. Beweisen Sie, dass auch für jedes $\begin{eqnarray} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} A_{c} := \left\{ z \in K : Im z = c \right\} \end{eqnarray}$ kompakt ist, sofern $\begin{eqnarray} A_{c} \neq \left\{\right\} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich glaube ich habe etwas von der Kompaktheit missverstanden, denn meine Lösung scheint mir etwas zu einfach, ich fänd's toll wenn mal jemand drüber schauen kann: Da jede Folge $\begin{eqnarray} z_{n} \in K \end{eqnarray}$ eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray} z_{n_{k}} \end{eqnarray}$ hat. Gilt $\begin{eqnarray} Im z_{n_{k}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Re z_{n_{k}} \end{eqnarray}$ konvergieren. Da alle $\begin{eqnarray} z \in A_{c} \end{eqnarray}$ aus K sind, und dort JEDE BELIEBIGE Folge eine konvergente Teilfolge hat, muss auch jede Folge aus $\begin{eqnarray} A_{c} \end{eqnarray}$ eine konvergente Teilfolge haben. Man kommt von K auf $\begin{eqnarray} A_{c} \end{eqnarray}$ indem man einfach Folgen weglässt - nämlich die, deren $\begin{eqnarray} Re z_{n} \end{eqnarray}$ nicht konstand c sind.

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