Volumen durch Rotation einer Fläche

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Roland Gazi Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen durch Rotation einer Fläche
Meine Frage:
Gegeben ist die Fläche A, die von den Koordinatenachsen und dem Kurvenstück

begrenzt wird. Bearbeiten Sie folgende Aufgaben ohne Taschenrechner.

1) Berechnen Sie den Flächeninhalt A.

2) Die Gerade y = x zerlegt die Fläche in zwei Teilflächen. Die größere der beiden Teilflächen wird mit "A1", die kleinere mit "A2" bezeichnet.
Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte von "A1" und "A2"

3) "A1" erzeugt bei Rotation um die x-Achse einen Drehkörper vom Volumen "V1".
"A2" erzeugt bei Rotation um die y-Achse einen Drehkörper vom Volumen "V2".
Berechnen Sie das Verhältnis "V1":"V2".

Meine Ideen:
Kurz angerissen: Hauptproblem bei mir ist Aufgabe 3, später mehr.

1) Flächeninhalt A:


2) Verhältnis "A1":"A2" :


1. Annahme:
Ich berechne die Fläche im Interval [1;4] und addiere 0,5 FE dazu. Der Schritt erklärt sich von selbst bei Betrachtung der Funktionsgraphen. (Mathematisch nicht ganz sauber..)



Gesuchtes Verhältnis: 2,2

3) Ich habe das alles aufgeschrieben, damit ihr eventuell besser verstehen könnt, weshalb ich keinen passenden Ansatz finde.

Um die Rotationsflächen der Fläche "A1" und "A2" zu bestimmen, benötigt man zunächst den Abstand zwischen dem zugehörigen Schwerpunkt der Fläche und der Drehachse. Bei "A1" wäre es "Sy", bei "A2" wäre es "Sx".







Fragen:
1.) Kann der Schwerpunkt soweit von der Bezugsfläche entfernt sein? Mir fällt nicht ein, wie ich sonst den Schwerpunkt ermitteln kann.
2.) Sofern man davon aus geht, dass alles richtig wäre, dürfte ich dann für dieses Problem die "2. Guldinsche Regel" anwenden?
3.) Habe ich etwas übersehen bzw. etwas falsch gerechnet?

Falls sich jemand mit meinem Problem auseinandersetzen will, kann ich mich nur im Voraus bedanken!
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Roland,

zu 2.: die Schnittstelle x=4 ist falsch. Nur x=1 ist richtig. Ich würde daher die Differenzfunktion der beiden Begrenzungslinien, , von 0 bis 1 integrieren. Dann hast du die Fläche links oben, und wenn du das Ergebnis von A aus Aufgabenteil 1) abziehst, dann hast du die Fläche rechts unten (und kannst somit auch deren Verhältnis berechnen).

Zu 3.: Ich weiß nicht, ob es irgendwie geschickter geht und ob man vielleicht direkt aus dem unter (2) berechneten Verhältnis auf das hier gesuchte Verhältnis schließen kann, aber: Die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers des Graphen von f im Intervall [a,b] um die x-Achse ist

.

Als f würde ich hier wieder die Differenzfunktion aus (2) verwenden.

LG
sibelius84
 
 
Roland Gazi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sibelius84,

erstmal bedanke ich mich für deinen Beitrag.

Zur 2): Ich weiß, dass x = 4 nicht richtig ist. Jedoch kam dies bei der Mitternachtsformel raus und habe das pro forma hinzugefügt.

Zur 3): So einfach kann das doch (meiner Meinung nach) nicht sein. Man hat zwei unabhängige Flächen, die jeweils um eine Drehachse drehen.
Wahrscheinlich ist das, was ich nun sage, falsch:
Die Flächen an sich sind doch keine Funktionen mehr (?).
Mein Gedanke ich lediglich, dass ich irgendwie die Flächen rotieren lassen muss und dazu fiel mir nur die 2. Guldinsche Regel ein..

Da stellen sich mir folgende Fragen:
1.) Kann man wie üblich die Fläche durch Integration beider Funktionen rotieren lassen, um so auf das Ergebnis zu kommen?
2.) Darf man die Flächen als 'unabhängig' betrachten? Denn dadurch kann man ja einfach so rotieren lassen. Ich stelle mir das mit einem A4 Blatt bildlich vor: Ich lasse das Blatt um ein Lineal rotieren und erhalte dadurch das Volumen und wenn das Blatt als 'gegeben' definiert ist, muss es doch möglich sein, diese anderweitig rotieren zu lassen. Forum Kloppe
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2.): Wenn du weißt, dass etwas nicht richtig ist, dann lass' es weg - bzw. schreib dazu "kam mit raus, ist aber trotzdem falsch" Augenzwinkern

Zu 3.): Wieso "zu einfach"? Diese Differenzfunktion zu quadrieren, ist schon ein wenig Arbeit. Die zweite Guldin'sche Regel zieht nur dann, wenn man den Schwerpunkt der Fläche leicht erkennen kann, was hier vermutlich nicht der Fall ist.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Fragen bzgl. Rotation richtig verstehe. Die Formel, die ich angegeben habe, bezieht sich immer auf Rotation um die x-Achse. Das Volumen des Rotationskörpers hängt nicht nur von der Form bzw. Größe der Fläche, sondern auch von ihrer Lage ab: Das Rechteck [0,1]x[0,2] erzeugt einen kleineren Rotationskörper als das Rechteck [0,1]x[8,10]. Mit der Formel solltest du an sich zum Ziel kommen können.
Roland Gazi Auf diesen Beitrag antworten »

Hat etwas länger gedauert mit dem Tippen..

Zur 2): Werde ich beim nächsten Mal darauf achten! smile

Zur 3): Erstmal zum Schwerpunkt habe ich eine Frage. Wie würdest du den Schwerpunkt ermitteln? Ich habe das ja versucht und bin mir nicht sicher, ob es richtig ist. Mein errechneter Schwerpunkt liegt weit außerhalb der Fläche und das scheint mir nicht richtig zu sein.

Und zu deinem Vorschlag kann ich mir nicht vorstellen, dass es exakt passt.
Den Ansatz, dass man im Intervall [f(0); f(1)] um die y-Achse rotieren lässt ist richtig.
Doch wie lasse ich dann die zweite Fläche mittels Integral rotieren?
Mein Gedanke, um deiner Idee nahe zu kommen, wäre, dass man erstens die Funktion 2 - "Wurzel(x)" im Intervall [1;4] und die Gerade x im Intervall [0;1] um die x-Achse rotieren lässt. In Zahlen gefasst:

Volumen, Rotation um x-Achse:
Ich habe die Rotationsvolumina von f(x) [1;4] und g(x) [0;1] addiert.



Volumen, Rotation um y-Achse:
Gleiches Vorgehen wie zuvor, nur das ich diesmal die Differenz der Volumina berechne:



Das gesuchte Verhältnis wäre demzufolge .
Korrekt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roland Gazi

Richtig ist .
Roland Gazi Auf diesen Beitrag antworten »

Vergessen.. dann wäre

Kannst du mir dennoch die weiteren Fragen beantworten?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Volumenberechnung von , d.h., des Rotationskörpers um die -Achse ist mir schon vom Ansatz her völlig suspekt: Was machst du da eigentlich? Erstaunt1


EDIT: Ah Ok, ist klar. Dort muss es also heißen, dann kommt es hin.
Roland Gazi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

eine Zumutung für euch, ich kann nicht mal richtig alles in die Formel einsetzen Hammer



Um diesen Thread zu beenden, würde ich noch folgendes wissen:
1) Nach euren Korrekturen und der Verbesserung ist die Aufgabe dadurch gelöst?
2) Wie kann man 'elegant' den Schwerpunkt der Teilflächen bestimmen?
Das Problem ist ja, dass die größere Teilfläche aufteilbar ist in zwei Flächen. Einmal g(x) = x [0;1] und f(x) = 2 - "Wurzel(x)" [1;4]. Kann ich dann einfachheitshalber die jeweiligen Schwerpunkt berechnen und die anschließend mitteln, sprich:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Diesmal hast du die Subtraktion vergessen... oder was anderes? Jedenfalls stimmt der Wert nicht.

Zitat:
Original von Roland Gazi
Kann ich dann einfachheitshalber die jeweiligen Schwerpunkt berechnen und die anschließend mitteln, sprich:


Nein, so nicht. Mit einem gewichteten Mittel (entsprechend der Flächenanteile) sollte es aber klappen, d.h.

.
Roland Gazi Auf diesen Beitrag antworten »


Danke.

Ist die Formel allgemein gültig bzw. wie bist du darauf gekommen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

, und jetzt will ich kein Wort mehr davon hören. unglücklich

Zitat:
Original von Roland Gazi
Ist die Formel allgemein gültig bzw. wie bist du darauf gekommen?

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisc...n_Schwerpunkten
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