Faltung zweier Zufallsvariablen

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Stefsn Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung zweier Zufallsvariablen
Meine Frage:
Soooo ... Nach langer Recherche, habe ich mich dazu entschlossen, die Community um Hilfe zu fragen. Es geht hierbei gleich um 2 Dinge.

1. Die Bestimmung der Grenzen bei einer Faltung.
2. Vergleich eines Ergebnisses mittels anderen Rechenweg. <-- Das Problem baut quasi auf erstens auf.

Zu Erstens:
Aufgabe:
Es seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit X gleichverteilt auf dem Intervall (-1,1) und Y exponentialverteilt zum Parameter > 0. Berechnen Sie die Dichte von X +Y.


Zu Zweitens:
Aufgabe:
Die wöchentlichen Einnahmen eines Restaurants folgen einer Normalverteilung mit Erwartungswert 2200? und Standardabweichung 230?.
a) Wie hoch ist die WK, dass die Gesamteinnahmen der nächsten beiden Wocheneinnahmen über 5000? steigen?


Meine Ideen:
Idee zu erstens:






... und nun weiß ich nicht wie ich die neuen Grenzen ermitteln muss. :-/


Idee zu Zweitens:
Also hier habe ich direkt den Satz: Seien X_1 .... X_n unabhängige Zufallsvariablen mit X_i ~ N(µ_i, s_i) ....
Damit komme ich auf eine WK von 1-PHI(1.84) = 0.0329.
Nun möchte ich dieses Ergebnis ebenfalls mit der Faltung errechnen. Problem hierbei stellen wieder die Grenzen dar.



__________-

Also benötige ich erstmal bei 1. Unterstützung.


Schon mal vielen Dank im voraus.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Du musst einfach herausfinden, für welche bei fest vorgegebenem beide Indikatorfunktionen Wert 1 haben, denn andernfalls ist der Integrand gleich Null.

Bei der ersten ist das für der Fall, bei der zweiten für .

Damit stellen wir fest, dass im Fall das nie passiert - logisch, die Summe der beiden Zufallsgrößen kann keine Werte <-1 annehmen, die Dichte ist in dem Fall gleich Null. Für können wir dagegen schreiben

.

Damit könnte man im Prinzip schon arbeiten. Wenn man das noch "wegbekommen" will, muss man weitere Fälle unterscheiden: Im Fall ist , für hingegen .


Zu 2)

Zitat:
Original von Stefsn
Nun möchte ich dieses Ergebnis ebenfalls mit der Faltung errechnen. Problem hierbei stellen wieder die Grenzen dar.

Wieso das? Bei der Normalverteilung bleiben die Grenzen und , keine Indikatorfunktion steht im Weg. Wenn du Probleme bei der Auswertung des Faltungsintegrals hast, dann liegen die mit Sicherheit woanders.




P.S. zur Symbolik: Ich finde es ein wenig unglücklich, dass du die Symbolik N(..) sowohl für die stetige Gleichverteilung (in 1.) als auch für die Normalverteilung (in 2.) einsetzt. Letzteres ist durchaus üblich, ersteres nicht. Bei der Gleichverteilung nimmt man häufig (basierend auf uniform), aber ganz so einheitlich verbreitet wie bei der Normalverteilung ist da die Symbolik nicht, in der Tat.
Stefsn Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhhhh .... Ok. Ja, da habe ich mich vertan mit N und U. ;-). Das ist richtig.

1)

Also von ...


...
Hieraus sieht man, theoretisch wäre durch die 2. Indikatorfunktion y beschränkt auf . Durch die 1. Indikatorfunktion ist zu erkennen, dass

.

Also erstmal...



Und jetzt setze ich einfach mal die untere Grenze der 2. Indikatorfunktion in die Beschränkung der 1. ein und erhalte...

.

Einschub, kann man sagen, dass man den Schnitt der Definitionsmenge der 1. und 2. Indikatorfunktion sucht?
Damit ergibt sich, dass für der Schnitt der 1. und 2. Indikatorfunktion.

Mit den beiden Bereichen links und rechts komme ich noch nicht ganz zurecht. Da bräuchte ich nochmal ein paar Denkanstöße.

Zu 2)

Naja. Mal schauen.

Wir gehen wieder aus von ...



Angenommen die Einnahmen sind unabhängig. Normalverteilt ergäbe sich...



Jetzt weiß man, dass die Summe aber größer 5000 sein soll.

....

Und irgendwie muss ich ja hier hin kommen...

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

1) Jetzt geht es ein wenig durcheinander: ist Unsinn. Was du womöglich meinst ist , so stimmt es. Damit geht es basierend auf weiter mit . Und das rechts wiederum entspricht im Fall dem Wert .


Bei 2) sieht es so aus, als verwechselst du Dichte mit Verteilungsfunktion:

Das Faltungsintegral berechnet zunächst nur die Dichte , und dort verläuft die -Integration wie ich es oben bereits sagte von bis .

Was du dann weiter unten meinst, ist die Wahrscheinlichkeit (!) mit Verteilungsfunktion . unglücklich



Ich weiß aber nicht, warum du dir das hier bei dieser konkreten Aufgabe "antust", bei der nächsten vielleicht wieder... Effizienter wäre es doch, wenn du dir gleich, ein für alle mal, dieses für unabhängige und nachweist. Durch Verschiebung reicht es sogar, für unabhängige und nachzuweisen, d.h. es ist da



für alle reellen nachzuweisen.
Stefsn Auf diesen Beitrag antworten »

SEHR GUT. Jetzt habe ich es denke verstanden. smile

1)

Also der Schnitt der Indikatorfunktionen ist bei beiden immer im Interavell von eins. Deswegen auch ein mal die Grenze von ... bis ... Sprich irgendwo im Bereich "pappt" das Intervall auf, und da wird integriert.
Der andere Fall ist ganz zu Beginn der Achse. Da der 2. Indikator erst ab Null beginnt, und wir den Indikator 1 darüberschrieben, integrieren wir immer nur von , und ab dem Punkt wo der 1. Indikator die null "verlässt, tritt der erstgenannte Fall ein. Big Laugh Big Laugh











Müsste ja jetzt theoretisch über z integriert 1 ergeben. Dann wäre alles super.

2)

Ja. Diesen Satz kenne ich ja. Damit bin ich ja auf die Lösung gekommen, die ich schon angegeben habe. Aber muss ja nicht immer sein, dass die beiden ZV vom gleichen Typ sind. Und dann sollte ich ja dennoch damit klarkommen. ;-) Deswegen will ich es nochmal über den Weg machen.

Stimmt. Das mit den Grenzen habe ich in der Tat missverstanden! Ich suche ja quasi erst das Integral von z= der Dichte

Dann werde ich nochmal versuchen auf die Dichteformel zu kommen. :-)
Also erst das Integral in den Grenzen lösen, und dann müsste ja ein Ausdruck stehen bleiben, der von z abhängig ist. Und der müsste dann doch, jetzt lass mich bitte nicht falsch liegen, so aussehen...

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stefsn



Wie bitte? Wieso Summe der Integrale? Das wäre richtig, wenn da im Integranden stehen würde (EDIT: Nein, auch da nicht). Stattdessen ist es aber , und wie man das behandeln kann, hab ich nun schon mehrfach erzählt - aber das stößt bei dir offensichtlich auf taube Ohren, ich werde es jetzt auch nicht nochmal wiederholen. unglücklich

Zitat:
Original von Stefsn

Ja, das ist das Ziel.
 
 
Stefsn Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber das ist doch quasi das, was du zu Beginn hattest. Ein kleiner Fehler, ich habe die Indikatorfunktion vergessen hinzuschreiben.



Und da die Indikatorfunktion nicht von abhängig ist, zieht man diese nach vorne. Das verschwindet beim integrieren. Und ich erhalte die gefaltete Dichtefunktion:



Also ich sehe bei der Zeile jetzt kein Problem. Die Grenzen sind gesetzt für . Je nachdem, fällt die eine Summe komplett raus.
Habe jetzt mal nachgeschaut, dass ganze konvergiert auch einwandfrei gegen 1. Gott

Und wenn ich es komplett durchringen hätte, würde ich ja nicht nachfragen. Aber das wird schon klappen. :-)

2)
Das schaue ich mir jetzt mal an, ob ich es schaffe auf die Form zu kommen OHNE den fertigen Satz der Summen zu nutzen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stefsn
Ja aber das ist doch quasi das, was du zu Beginn hattest.

Ist es nicht, und es ist falsch. Wenn du es partout nicht glaubst, dann rechne die Integrale mal für konkrete Werte aus, von mir aus o.ä.

Ich verabschiede mich einstweilen, bis du das endlich einsiehst. Wink


P.S.: Dabei habe ich hier

Zitat:
Original von HAL 9000
Wenn man das noch "wegbekommen" will, muss man weitere Fälle unterscheiden: Im Fall ist , für hingegen .

direkt schon eine Brücke gebaut, und du verschwendest einfach nur Zeit mit dieser deiner Unfug-Umformung. Finger1
Stefsn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Stefsn
Ja aber das ist doch quasi das, was du zu Beginn hattest.

Ist es nicht, und es ist falsch. Wenn du es partout nicht glaubst, dann rechne die Integrale mal für konkrete Werte aus, von mir aus o.ä.

Ich verabschiede mich einstweilen, bis du das endlich einsiehst. Wink


Ich habe es nachgerechnet. Es konvergiert gegen 1.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@andere Helfer

Gegen uneinsichtige Fragesteller kann ich nichts machen - wenn sich ein anderer Helfer mit ihm rumärgern will, nur zu. Wink
Stefsn Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin ja eigentlich der, der hier keine Ahnung hat. Big Laugh

Aber nochmal langsam. Das letzte was ich geschrieben habe. Die Dichtefunktion. Unterteilt in den Summen und abh#ngig von z, KONVERGIERT gegen 1.

Ich habe es doch eben nachgerechnet.

integrate(1/2-1/2*e^(-(z+1)),z=(-1) to 1) + integrate(1/2*e^(-(z-1))-1/2*e^(-(z+1)),z=(1) to (inf))

Bei Wolfram Alpha eintippen. Und du siehst es konvergiert gegen 1 und damit ist das Dichtekriterium erfüllt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab von

Zitat:
Original von Stefsn

geredet. Jetzt hast du anscheinend klammheimlich wieder Indikatorfunktionen reingemogelt (per EDIT), ohne den Fehler zuzugeben. Deswegen habe ich mir deine letzten Terme auch gar nicht mehr angesehen. Wenn du hier derart unlautere EDIT-Kriege führen willst, dann bitte, aber ohne mich.
Stefsn Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt doch gar nicht. Du hast dann eben nicht richtig gelesen. Ich habe doch geschrieben das ich nur die Indikatorfunktionen vergessen habe. Und dann habe ich alles nochmal aufgeschrieben vorgerechnet.

Und beim ersten mal rechnen fehlen die Indikatorfunktionen ja vor dem integrieren. Das kannst du oben auch nachlesen. da stehen die erst nach dem integrieren, weil ich nicht daran gedacht habe die wieder einzufügen.

Es scheint, als hätten wir nur aneinander vorbei geredet.

Zudem steht immer unten drunter, wenn man editiert hat. Und das ist ganz oben nicht der Fall. Schau nach. Da wo ich einmal in meiner Formel editiert habe, steht es, und da hatte ich nur die Grenzen der Indikatorfunktionen vertauscht.

Aber trotzdem danke für deine Hilfe. Ich denke ich habe es verstanden, wie man bei den Grenzen vorgeht. smile

EDIT: Und ich lasse mich hier nicht bezichtigen etwas Mogelheimlich zu editieren!!!
Ein Unding, das du mir das vorwirfst, obwohl in dem Beitrag, den du zitiert hast, gar nichts editiert wurde. Und in dem Beitrag in der letzten Zeile sogar das korrekte Ergebnis steht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Beitrag 18:39 hast du nachträglich editiert (18:53), da hast du die Indikatorfunktionen eingefügt und auch im Text erwähnt. Ich hatte aber 18:52 schon auf die Originalversion 18:39 (wo der Fehler nach wie vor präsent war) geantwortet. Das später nicht zu erläutern, ist ganz, ganz mieser Stil. Aber wenn du unbedingt Recht haben willst, dann bitte, dann siehst du mich eben als Helfer nie wieder. Wink
Stefsn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Deinen Beitrag 18:39 hast du nachträglich editiert (18:53), da hast du die Indikatorfunktionen eingefügt und auch im Text erwähnt. Ich hatte aber 18:52 schon auf die Originalversion 18:39 (wo der Fehler nach wie vor präsent war) geantwortet. Das später nicht zu erläutern, ist ganz, ganz mieser Stil. Aber wenn du unbedingt Recht haben willst, dann bitte, dann siehst du mich eben als Helfer nie wieder. Wink


Das ist doch Humbug. Lies dir doch mal die Sachen durch. in dem Beitrag oben, den du zitiertest, da steht in der letzten Zeile die absolut korrekte Lösung. Der Beitrag von mir war auch nicht editiert.
Und dann kam dein post. daraufhin wieder meiner, und ich habe geschrieben, stimmt. ich habe vergessen die Indikatorfunktionen zu schreiben. Dann habe ich die Rechnung nochmal neu gemacht mit den indikatorfunktionen.
Und da, wo ich es neu gemacht habe, ja habe ich editiert, weil ich da noch falsche Grenzen gesehen hatte.

Vergleich mal mein Post um Heute 13:54 und den um Heute, 18:39.

Vielleicht siehst du was ich meine



Edit: Ich habe das Gefühl, dass wir hier eventuell beide an etwas aneinander vorbei reden. oO'


Edit: Und ich habe nochmal nachgeschaut. Ich habe in dem Moment editiert, wo du geantwortet hast. Da hätte ich lediglich die Grenzen richtig gesetzt. Aus meiner Sicht hast du meinen Beitrag einfach nicht korrekt gelesen.

Aber wie gesagt. Dennoch Danke. Und nachträgliches editieren ist gar nicht mein Ding. Was sollte mir das bringen.
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