Reihenkonvergenz untersuchen |
11.01.2018, 10:58 | davidrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Reihenkonvergenz untersuchen Die Frage stammt aus einer Analysisaufgabe dessen Lösung ich leider nicht kenne. Und zwar: Für welche in konvergiert die folgende Reihe: Meine Ideen: Zuerst wollte ich blind das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium ausprobieren, daran bin ich aber gescheitert. Die nächste Idee was den Term als Taylorentwicklung zu schreiben. Jedoch gibt das eine ziemlich komplizierte Gleichung welche auch nicht wirklich hilfreich ist. Ich aber das Gefühl dass hier mit dem Vergleichskriterium gearbeitet werden muss. Ich weiss ja, dass meine Reihe kleiner ist als die Riemannsche Zetafunktion. Diese konvergiert ja sicherlich für . Zudem weiss ich, dass die Reihe für sicher nicht konvergiert. Es stellt sich somit die Frage was für gilt. |
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11.01.2018, 11:05 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Für welche alpha konvergiert folgende Reihe Ich würde den Mittelwertsatz auf die Funktion auf dem Intervall anwenden. |
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11.01.2018, 11:17 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alternativ kann man auch die Potenzreihenentwicklung , heranziehen, die etwa für eine Leibniz-Reihe ist. Bei denen liegt der Reihenwert immer im Intervall zwischen benachbarten Partialsummenwerten, daraus folgt , womit man sich ein passendes Sandwich für das Reihenglied oben basteln kann. |
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11.01.2018, 11:39 | davidrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Für welche alpha konvergiert folgende Reihe
Dann wäre Somit würde nach dem Mittelwertsatz ein existieren, dass Wenn dann gibt das: Jedoch weiss ich leider nicht wie mir das beim Rechnen oben weiterhilft. |
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11.01.2018, 11:45 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Für welche alpha konvergiert folgende Reihe
Du kannst nun schreiben. Damit ist . Nun kommt man mit recht elementare Abschätzungen an weiter. Edit: Oder man trickst so wie oben noch ein paar mal rum |
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11.01.2018, 11:54 | davidrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine schlaue Idee mit den "Sanchwichen". Das habe ich mir noch ncht so ganz überlegt. Wie wäre folgende Beweisskizze Somit gilt: Wenn wir uns nun die linke Seite anschauen: . Wir können nun das vor die Summe ziehen da es eine Konstante ist. Somit haben wir noch Die Riemannsche Zetafunktion konvergiert genau wenn Somit muss gelten Stimmt das mehr oder weniger Der Sandwichterm von oben folgt analog. Ich habe es auch soeben in Mathematica geplottet und die Konvergenzgrezen scheint in etwa bei zu sein. |
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11.01.2018, 11:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ziemlich schlampig ausgeführt: Was du hier links als untere Schranke hingeschrieben hast, ist tatsächlich eine obere Schranke. -------------------------------------------------------------------------------------------------- Die von mir oben angegebene Doppelungleichung führt via zu . Aufgrund von gilt demnach für alle . Damit ist das Sandwich perfekt angerichtet, und Konvergenz von liegt somit genau dann vor, wenn die Vergleichsreihe konvergiert. |
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