Emp. Standardabweichung zur Spannweite abschätzen.

13.01.2018, 13:21

Kretos

RE: Emp. Standardabweichung zur Spannweite abschätzen.

Zitat:

Original von Kretos
Hallo zusammen!

Folgende Aufgabe:
In Aufgabe a) habe ich vorher gezeigt, dass das arithmetische Mittel die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)= \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-t)^2 , t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ minimiert.

Die nächste Aufgabe lautet wie folgt:

Zeigen Sie mithilfe von a), dass die empirische Standardabweichung s wie folgt abgeschätzt werden kann:

$\begin{eqnarray*} s \leq \frac{R}{2} \end{eqnarray*}$

Ist diese Ungleichung scharf (i.e. gibt es einen Datensatz, für den die Gleichheit gilt)?
Dabei ist R die Spannweite des Datensatzes.

Meine Idee:
Ich versuche s so lange nach oben abzuschätzen, bis ich bei R/2 bin. Aber genau da hakt es leider.
Ich komme nur auf folgende Abschätzungen:
$\begin{eqnarray*} s \leq s^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\vec{x})^2 \leq \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\vec{x})^2 \leq ... \leq \frac{x_{(n)}-x_{(1)}}{2} \end{eqnarray*}$

Für die zweite Frage wäre meine Lösung:
Für jeden Datensatz mit nur einem $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ist die Ungleichung scharf, da dann dort 0=0 steht.

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ soll natürlich x-Quer sein, also das arithmet. Mittel. Habe nicht herausgefunden, wie man einen Querstrich macht verwirrt

Ich habe meine Abschätzung mal verändert:
Da für n=1 die Gleichheit gilt, habe ich angenommen, dass $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ gelten darf.

$\begin{eqnarray*} s \leq s^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\vec{x})^2 \leq\frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\vec{x})^2 \leq \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i^2 - 2x_i\vec{x} + \vec{x}^2) \leq \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i^2+\vec{x}^2) \leq \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i^2) + \frac{n\vec{x}^2}{2} \leq ... \leq \frac{x_{(n)}-x_{(1)}}{2} \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber von da auch wieder nicht weiter und kriege den Teil mit .... nicht gefüllt unglücklich

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