Banach-Tarski Differenzierbarkeit/Stetigkeit

12.01.2018, 07:48

rinsenLoL

Banach-Tarski Differenzierbarkeit/Stetigkeit

Meine Frage:
Beweisen oder widerlegen Sie:
a)
Sei M ? R,f:M?R stetig und(xn)n?N eine Cauchy-Folge in M. Dann ist(f(xn))n?N eine Cauchy-Folge in R.
b)
Sei f: [a,b]?R stetig und differenzierbar auf(a,b). Gibt es ein S?R mit|f verwirrt

x)|?S für alle x verwirrt

a,b), so ist f gleichmäßig stetig auf[a,b].

Meine Ideen:
bei der a) hab ich geschrieben , dass die folge in m konvergiert und stetig ist nach vorraussetzung und somit (f(xn)) in R konvergiert und dadurch automatisch eine cauchy folge ist.
ich weiß nur nicht ob das so stimmt .
und bei der b) fehlt ir leider jeglicher ansatz .
ich hoffe Sie können mir da etwas helfen

12.01.2018, 11:19

HAL 9000

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Also a) konnte ich noch leidlich rekonstruieren, aber hier

Zitat:

Original von rinsenLoL
b)
Sei f: [a,b]?R stetig und differenzierbar auf(a,b). Gibt es ein S?R mit|f verwirrt

x)|?S für alle x verwirrt

a,b), so ist f gleichmäßig stetig auf[a,b].

hört es auf. unglücklich

Schreib das nochmal lesbar auf!

Zitat:

Original von rinsenLoL
bei der a) hab ich geschrieben , dass die folge in m konvergiert

Das stimmt i.a. nur, wenn $\begin{align*} M \end{align*}$ vollständig ist - davon lese ich aber nichts in den Voraussetzungen. unglücklich

Tipp: Betrachte mal $\begin{align*} f:\;\mathbb{Q}\to \mathbb{R} \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x)=\frac{1}{x^2-2} \end{align*}$ .

12.01.2018, 11:39

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000
Also a) konnte ich noch leidlich rekonstruieren, aber hier

Zitat:

Original von rinsenLoL
b)
Sei f: [a,b]?R stetig und differenzierbar auf(a,b). Gibt es ein S?R mit|f verwirrt

x)|?S für alle x verwirrt

a,b), so ist f gleichmäßig stetig auf[a,b].

hört es auf. unglücklich

Aaalso. Ich tippe auf:
Sei $\begin{eqnarray*} f \colon [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und differenzierbar auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ .
Falls es ein $\begin{eqnarray*} S \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | f'(x) |\leq S \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (a,b) \end{eqnarray*}$ gibt, so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ .

Edit: Vermutlich dachtest du dir das auch, und dann ist dir aufgefallen, dass man 90% der Annahmen nicht braucht.

12.01.2018, 11:44

HAL 9000

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Ehrlich gesagt habe ich gar nicht weiter über den Inhalt gerätselt - bei dem Mittelteil

Zitat:

Original von rinsenLoL
|f verwirrt

x)|?S für alle x verwirrt

a,b)

habe ich nur noch gedacht "jetzt reicht es". unglücklich

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