Integral mit Kronecker-Delta vereinfachen

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12.01.2018, 10:27	Probability	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Kronecker-Delta vereinfachen Hey, ich verstehe folgendes Integral nicht: $\begin{eqnarray} \int_0^A sin(n\cdot x)sin(m\cdot x) dx = \frac{A}{2}\cdot \delta_{nm} \end{eqnarray}$ Also wenn n=m, dann ist das Integral A/2 und bei ungleichen Indizes ist es Null. Zuerst habe ich mal das Integral für nur gleiche Indizes und nur verschiedene Indizies ausgerechnet: n ungleich m: $\begin{eqnarray} \int_0^A sin(n\cdot x)sin(m\cdot x) dx = \frac{ncos(An)sin(Am)-mcos(Am)sin(An)}{m^2 - n^2} \end{eqnarray}$ n=m: $\begin{eqnarray} \int_0^A sin(n\cdot x)sin(n\cdot x) dx = \frac{A}{2} - \frac{sin(2An)}{4n} \end{eqnarray}$ Mich interessiert nun, warum jetzt genau das Integral bei gleichen Indizes Null ist. Kann mir da jemand weiterhelfen bitte? Gruß Probability
12.01.2018, 10:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Kronecker-Delta vereinfachen Das gilt einfach nicht für alle $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Man wird sicher irgendwo fordern, dass es ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ oder ähnlichem ist. Sieht man schön, da für jedes n,m ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} \sin(nx) \sin(mx) > 0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (\delta/2, \delta) \end{eqnarray}$ und nicht-negativ auf $\begin{eqnarray} (0,\delta) \end{eqnarray}$ ist. Somit wäre das Integral positiv
12.01.2018, 11:03	Probability	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Kronecker-Delta vereinfachen Danke! Ich poste am besten dann die Aufgabe selber. Ich bin nämlich im Rahmen einer Physikaufgabe auf dieses Problem gestoßen. Aber dann hat es wohl doch sehr mathematischen Bezug. Im Anhang die Aufgabe. Es steht auch genau da, was ich machen muss. Ich schreibs mal auf: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty a_n sinh(v_nY)\cdot \int_0^X sin(v_nx)sin(v_mx) dx = \int_0^X \psi_0 sin(v_mx) \end{eqnarray}$ A ist hier tatsächlich nur eine beliebige Zahl. (Physikalisch: Die Länge einer Rechteckseite) Und hier ist es anscheinend hilfreich die Orthogonalität $\begin{eqnarray} \int_a^b dx U^_n(x) U_m(x) = \delta{mn} \end{eqnarray}$ zu benutzen. Aber ich verstehe den Zusammenhang nicht. Mein v_n kann ich ja dann so darstellen: $\begin{eqnarray} v_n = \frac{\pi n }{X} \end{eqnarray*}$ . Ändert die oben angegebene Summe denn irgendwas?
12.01.2018, 11:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Kronecker-Delta vereinfachen Im Bild steht der Sinus Hyperbolicus, du hast nur Sinus geschrieben. Ausserdem sind $\begin{eqnarray} \nu_n \end{eqnarray}$ feste Zahlen. Sicherlich keine Funktion in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Schau mal nach welche. Ich vermute extrem stark, dass es $\begin{eqnarray} \frac { \pi n } Y \end{eqnarray}$ ist.
12.01.2018, 11:14	Probability	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Kronecker-Delta vereinfachen Ok, habs jetzt oben editiert. Stimmt es kann keine x oder y-Abhängigkeit sein. (Btw: X ist die Länge des Rechtecks und Y die Höhe/Breite des Rechtecks) Aber ich verstehs nicht, denn nirgends steht, dass n z.b. nur gerade oder ungerade Zahlen sind. Die Summe gilt ja auch für alle natürlichen Zahlen.
12.01.2018, 11:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Kronecker-Delta vereinfachen Wir wollen also das Integral $\begin{eqnarray} \int_0^X \sin(v_nx)\sin(v_mx) dx=\int_0^X \sin(\frac { \pi n} X x)\sin( \frac{\pi m} X x) dx \end{eqnarray}$ lösen. Substituiert man $\begin{eqnarray} z = \frac {\pi x} X \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} \int_0^X \sin( \frac{\pi n} X x)\sin( \frac{\pi m} X x) dx =\frac X \pi \int_0^\pi \sin( n z)\sin( m z) dz \end{eqnarray}$ . Und nun ist $\begin{eqnarray} A = \pi \end{eqnarray}$ .
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12.01.2018, 12:20	Probability	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Kronecker-Delta vereinfachen Danke für deine Antwort. Aber wie hast du die Integrationsgrenzen substituiert? Aber nach dem Integrieren kommt dann auch wieder folgendes raus: $\begin{eqnarray} \frac{X}{\pi} \frac{ncos(n\pi)sin(m\pi)-mcos(m\pi)sin(n\pi)}{m^2-n^2} \end{eqnarray}$ Wenn n ungleich m ist, wird der Zähler wegen dem Sinus Null, d.h. der ganze Term wird null. Und bei n=m ergibt sich eine Division durch Null, was undefiniert ist, darum rechne ich folgendes aus: $\begin{eqnarray} \frac{X}{\pi}\int_0^\pi sin^2(nz) dz = \frac{X}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{sin(2n\pi)}{4n} \right) = \frac{X}{2} \end{eqnarray}$ Und jetzt weiß ich, dass bei n=m eben X/2 und bei n ungleich m Null rauskommt, daher kann ich ein Kronecker-Delta $\begin{eqnarray} \delta_{mn} \end{eqnarray*}$ hier einführen. Und genau das ist der Grund, nehme ich an?
12.01.2018, 12:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Kronecker-Delta vereinfachen Ich hatte es extra in die Form gebracht, damit du es einfach oben in deine alte Formel einsetzen konntest. Aber noch einmal integrieren üben, schadet sicher nicht Und die Grenzen: Die untere Grenze ist $\begin{eqnarray} z( \text{alte untere Grenze } ) = z(0) = \frac { \pi \cdot 0 } X = 0 \end{eqnarray}$ und die obere $\begin{eqnarray} z(\text{alte obere Grenze})= z(X) = \frac { \pi X} X = \pi \end{eqnarray}$ .
12.01.2018, 13:47	Probability	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, danke . Okay.. nun muss das Ganze nach $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ umgeformt werden. Aber ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Summe wegbekommen sol, denn $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ sollte ja nur ein bestimmter Term sein und keine Summe nehme ich an. Im Prinzip habe ich folgendes, wenn ich auch die rechte Seite der ganz ursprünglichen Formel integriert habe: $\begin{eqnarray} \frac{X}{2}\sum_{n=1}^\infty a_n \sinh(v_nY) \delta_{mn} = \frac{\phi_0}{v_m}(1-\cos(v_mX)) \end{eqnarray}$ Durch das Kroneckerdelta kann ich im Argument vom Sinushyperbolicus $\begin{eqnarray} v_m \end{eqnarray}$ schreiben. Macht genau das dann die Summe überflüssig? Aber das ist dann nicht wirklich klar.
12.01.2018, 13:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{n \in \mathbb N} b_n \delta_{nm} = b_1 \cdot \delta_{1m} + b_2 \cdot \delta_{2m} + \ldots + b_m \delta_{mm} + \ldots = 0 + 0+ \ldots + b_m + \ldots = b_m \end{eqnarray}$ . Das ist das schöne am Kronecker Delta.

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