Extremalprinzip

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mathe321 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalprinzip
Meine Frage:
Das Produkt zweier positiver reeller Zahlen ist 20.
Wie groß muss die Summe mindestens sein?
Wie groß kann sie höchstens sein?


Meine Ideen:
Also wir wissen:

ab= 20

Beispiele wären:
a=10 und b=2
a=20 und b=1
a=5 und b=4...

Wir müssen glaube ich das Extremalprinzip anwenden.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

. Betrachte die Funktion .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder AMGM: mit Gleichheit für a=b

Nach oben gibts keine Grenzen.
mathe321 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das einsetze erhalte ich ja:



Aber wie komme ich auf die Antwort? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

HAL9000 hat einen Insider-Witz gemacht. M in AMGM heiß Mittel, du musst raten, was A und G heißt. Augenzwinkern
mathe321 Auf diesen Beitrag antworten »

Einmal das arithmetische und das geometrische Mittel?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Insider muss man dazu nicht sein: Selbst die (englische) Wikipedia führt bei Eintippen "AMGM" in die Suchmaske direkt zum relevanten Artikel. Und auch die (deutsche!) Googlesuche liefert das als ersten Treffer. Augenzwinkern
mathe333 Auf diesen Beitrag antworten »

ab=20, also b=20/a

Also suchen wir f(a)=a+20/a

Bedingungen für ein Max sind: f'(a)=0 und f''(a)<0

f'(a)=0 genau dann wenn oder

f''(a)<0 genau dann wenn a<0

also:

Dann ist die Summe mindestens

Aber ist das ist ja nicht die Formel von oben...
mathe333 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder woher weiß ich, das a=b ist?

Denn dann herrscht ja Gleichheit bei:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe333
f''(a)<0 genau dann wenn a<0

also:

Was du hier treibst, sind Rechnungen ohne Sinn und Verstand:

Zitat:
Original von mathe321
Das Produkt zweier positiver reeller Zahlen ist 20.

a<0 ist keine positive Zahl - du bewegst dich also in einem Bereich, um den es hier überhaupt nicht geht. unglücklich

Es gibt hier für positive a,b kein lokales Maximum, und ein globales auch nicht (habe ich oben schon angemerkt):

Zitat:
Original von HAL 9000
Nach oben gibts keine Grenzen.



Übrigens: Falls man doch auch negative a,b diskutieren will, dann ist das hier
Zitat:
Original von mathe333
Dann ist die Summe mindestens

auch falsch: Die Summe ist dort höchstens (!) gleich .

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