Reihenentwicklung

12.01.2018, 17:12

Sito

Reihenentwicklung

Guten Abend zusammen,

folgende Aufgabe macht mir momentan etwas zu schaffen: Bestimmen sie für die Funktion $\begin{align*} f(z)=\frac{1}{z^2+z} \end{align*}$ alle möglichen Reihenentwicklungen der Form $\begin{align*} \sum_{n\in\mathbb{Z}}a_n(z-a)^n \end{align*}$ und geben sie jeweils den Konvergenzbereich an.

Gesucht sind also alle möglichen Reihenentwicklungen um $\begin{align*} 1 \end{align*}$ herum. Die Konvergenzbereiche werden durch die Polstellen begrenzt, in diesem Fall also $\begin{align*} z_0=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} z_1=-1 \end{align*}$ . In diesem Fall sind also die Bereiche $\begin{align*} B_1=\{|z-1|<1\},B_2=\{1<|z-1|<2\} \end{align*}$ und $\begin{align*} B_3=\{2<|z-1|\} \end{align*}$ von Interesse. Die erste Frage ist, ob man an dieser Stelle schon Aussagen über die Reihe machen kann? Ich dachte z.B. daran, dass für $\begin{align*} B_1 \end{align*}$ wahrscheinlich $\begin{align*} n\ge 0 \end{align*}$ gelten dürfte, man für $\begin{align*} B_2 \end{align*}$ erwarten darf, dass $\begin{align*} n\in \mathbb{Z} \end{align*}$ gilt und für $\begin{align*} B_3, \thinspace n< 0 \end{align*}$ . Sind das berechtige Annahmen, oder erfüllen die Reihenentwicklungen das hier nur zufällig?

Das grösste Problem ist nun, dass ich keine Ahnung habe wie man die Reihen bestimmt... Ein paar Hilfestellungen wären also toll.

Die Lösungen sind gegeben durch:

Für $\begin{align*} B_1: f(z)= \sum_{n\ge 0}(-1)^n \left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)(z-1)^n \end{align*}$
Für $\begin{align*} B_2: f(z)= \sum_{n\ge 0}\frac{(z-1)^n}{(-2)^{n+1}}+\sum_{n<0}(-1)^{n+1}(z-1)^n \end{align*}$
Für $\begin{align*} B_3: f(z)=\sum_{n<0} (-1)^{n+1}(1-2^{-n+1})(z-1)^n \end{align*}$

Danke schon mal im Vorraus.
Gruss Sito

12.01.2018, 18:05

HAL 9000

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Erster Schritt ist eine Partialbruchzerlegung (PBZ) $\begin{align*} f(z) = \frac{1}{z} - \frac{1}{z+1} \end{align*}$ der Funktion.

Dreh- und Angelpunkt der Berechnung ist die geometrische Reihe $\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \end{align*}$ , die ja für $\begin{align*} |q|<1 \end{align*}$ konvergiert.

1) Einsetzen von $\begin{align*} q=\frac{z-a}{b} \end{align*}$ ergibt $\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} b^{-n} (z-a)^n = \frac{b}{a+b-z} \end{align*}$ , Konvergenzbereich ist $\begin{align*} |z-a|<|b| \end{align*}$ .

2) Einsetzen von $\begin{align*} q=\frac{b}{z-a} \end{align*}$ sowie Weglassen des Gliedes für $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ ergibt $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} b^n (z-a)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{-1} b^{-n} (z-a)^n = \frac{b}{z-a-b} \end{align*}$ , Konvergenzbereich ist $\begin{align*} |z-a|>|b| \end{align*}$ .

Und das nun geeignet auf die obige PBZ loslassen, immer im Lichte der Definitionsbereiche $\begin{align*} B_1 \end{align*}$ , $\begin{align*} B_2 \end{align*}$ oder $\begin{align*} B_3 \end{align*}$ . Bei dir ist einheitlich $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ , aber beim $\begin{align*} b \end{align*}$ kannst du ja geeignet variieren...

Zitat:

Original von Sito
Für $\begin{align*} B_3: f(z)=\sum_{n<0} (-1)^{n+1}(1-2^{-n+1})(z-1)^n \end{align*}$

(Schreib-)Fehler: Richtig ist hier $\begin{align*} f(z)=\sum_{n<0} (-1)^{n+1}(1-2^{-n{\color{red}-1}})(z-1)^n \end{align*}$ .

In den restlichen zwei Fällen stimmen die Darstellungen.

20.01.2018, 10:59

Sito

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Vielen Dank für den ausführlichen Beitrag!

Also ich verstehe die Umformungen, die du bei 1) und 2) machst, aber ich sehe den Zusammenhang zu der PBZ nicht so wirklich. Was $\begin{align*} b \end{align*}$ jeweils ist, also bezogen auf den Definitionsbereich, sehe ich, aber wie genau lässt man die zwei hergeleiteten Formen "geeignet auf die obige PBZ" los?

Tut mir Leid, aber könnest du das vlt. noch etwas ausführen?

Danke für die Korrektur bzlg. des dritten Definitionsbereiches.

Gruss Sito

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