Grenzwert bestimmen

12.01.2018, 17:26

Statista

Grenzwert bestimmen

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0, k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Es sei $\begin{eqnarray*} g: (-\epsilon,\epsilon) \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Funktion so, dass $\begin{eqnarray*} |g(x)| \le C|x|^{k} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (-\epsilon, \epsilon) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x^{k-1}} = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich wollte diese Aufgabe mit dem dazugehörigen $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ - Kriterium lösen und frage mich, ob ich $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ wählen kann.

12.01.2018, 17:45

HAL 9000

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Ich würde das per Sandwichsatz begründen, basierend auf $\begin{align*} \left| \frac{g(x)}{x^{k-1}} \right| \leq C|x| \end{align*}$ für $\begin{align*} x\in(-\epsilon,\epsilon)\setminus\{0\} \end{align*}$ .

12.01.2018, 18:21

Statista

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Klingt gut, aber dennoch, wäre es erlaubt?

12.01.2018, 18:44

IfindU

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RE: Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Statista
Meine Ideen:
Ich wollte diese Aufgabe mit dem dazugehörigen $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ - Kriterium lösen und frage mich, ob ich $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ wählen kann.

Natürlich. Es kann auch nicht unabhängig von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gehen. Wichtig hier ist, dass $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ NICHT von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ selbst abhängt.

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