Fundamentalsatz der Arithmetik

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13.01.2018, 08:47	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentalsatz der Arithmetik Hallo, ich habe eine kurze Frage. Wie folgt aus dem Fundamentalsatz der Arithmetik folgendes: Sei $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb Z \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ dann gilt $\begin{eqnarray} x^2 \ne py^2 \end{eqnarray}$ Wie folgt das? Wir haben irgendwie argumentiert, dass auf der linken Seite eine ungerade Anzahl an Primfaktoren ist und rechts eine gerade Anzahl? Wie sieht man das?
13.01.2018, 09:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn p eine Primzahl ist, dann stehen links eine gerade und rechts eine ungerade Anzahl Primfaktoren. Hat x n Primfaktoren, so hat x² 2n Primfaktoren, und 2n ist gerade.
13.01.2018, 09:33	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso danke. Kann man das nutzen, um folgendes zu beweisen: $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \notin \mathbb Q(\sqrt{2}):=\{a+b\sqrt{2} : a,b \in \mathbb Q\} \end{eqnarray}$ Vllt mit Widerspruch: $\begin{eqnarray} a+b\sqrt{2} = \sqrt{3}= a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2=3 \end{eqnarray}$ Wie kriege ich dann den Widerspruch hin?
13.01.2018, 11:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht viel einfacher. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} \sqrt 2\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ rational ist. Dass dem nicht so ist, wusste schon Euklid.
13.01.2018, 14:33	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie folgt das?
13.01.2018, 16:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a+b\sqrt{2} = \sqrt{3}\Rightarrow a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2=3\Rightarrow \sqrt 2=\frac {3-a^2-2b^2}{2ab}\in \mathbb Q \end{eqnarray}$
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13.01.2018, 17:01	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha ist ja ganz einfach. Ich danke dir
13.01.2018, 17:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So ganz einfach nun wieder nicht. Warum darf ich durch $\begin{eqnarray} 2ab \end{eqnarray}$ dividieren ?
13.01.2018, 17:38	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss doch $\begin{eqnarray} 2ab \ne 0 \end{eqnarray}$ sein. Ich denke, dass folgt so: $\begin{eqnarray} a+\sqrt{2} \ne 0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a \ne 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b \ne 0 \end{eqnarray}$ Wäre es nicht so, dann also $\begin{eqnarray} a+\sqrt{2} =0 \end{eqnarray}$ ,dann muss a=0 und b=0. Dann ist $\begin{eqnarray} a \ne 0 \ne b \end{eqnarray}$ D.h $\begin{eqnarray} \sqrt{2}=-a\b \end{eqnarray}$ so?
13.01.2018, 17:41	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h $\begin{eqnarray} \sqrt{2}=\frac{-a}{b} \in Q \end{eqnarray}$ Widerspruch
13.01.2018, 18:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so nicht. Du darfst es noch einmal oder auch mehrmals versuchen.
13.01.2018, 18:12	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
Vom was soll ich ausgehen. Hast du einen Tipp?
13.01.2018, 18:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Annahme war : $\begin{eqnarray} a+b\sqrt 2=\sqrt 3 \end{eqnarray}$ . Daraus muss du folgern, dass $\begin{eqnarray} 2ab\ne 0 \end{eqnarray}$ . Es gibt nichts peinlicheres im Leben eines Mathematikers als eine Division durch 0 . In jedem Beweisschritt, in dem dividiert wird, muss bewiesen werden, dass der Divisor von 0 verschieden ist.
13.01.2018, 20:36	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn a=0 wäre, dann wäre $\begin{eqnarray} b=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \notin \mathbb Q \end{eqnarray}$ Wenn b=0 dann ist $\begin{eqnarray} a = \sqrt{3} \notin \mathbb Q \end{eqnarray}$ Und a=b=0 geht nicht, denn $\begin{eqnarray} 0 \ne \sqrt{3} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} a\ne 0 \ne b \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} 2ab \ne 0 \end{eqnarray}$
13.01.2018, 21:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist akzeptabel.

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