Gruppen - Beweis

13.01.2018, 10:44	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen - Beweis Hallo zusammen, mir stellt sich eine Frage zu folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (G, \circ) \end{eqnarray}$ eine Gruppe mit neutralem Element $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \forall a,b \in G : (a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray}$ Da es sich um eine Gruppe handelt, gilt doch Folgendes : $\begin{eqnarray} a \circ e = e \circ a = a \ \forall a \in G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e \end{eqnarray}$ Richtig ? LG Snexx_Math
13.01.2018, 13:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zweifellos richtig.
13.01.2018, 17:09	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank
13.01.2018, 17:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Jetzt könntest du langsam mal die Aufgabe lösen ...
13.01.2018, 20:15	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
oh achso: Mein Gedanke war: Es gilt ja, dass $\begin{eqnarray} (a \circ b)^{-1} \circ (a \circ b) = e \end{eqnarray}$ Dann muss , wenn $\begin{eqnarray} \forall a,b \in G : (a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray}$ gilt , $\begin{eqnarray} (b^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ b) = e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (b^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ b) = b^{-1} \circ (a^{-1} \circ a) \circ b = b^{-1} \circ e \circ b = b^{-1} \circ b = e \end{eqnarray}$ Ich hoffe das geht so
13.01.2018, 22:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Logik funktioniert genau andersrum. Aus der letzten Zeile folgt wegen der Eindeutigkeit des Inversen die erste Zeile, also die Behauptung.
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14.01.2018, 00:24	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Also einfach rückwärts aufschreiben ?
14.01.2018, 08:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: letzte Zeile $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ erste Zeile. qed.

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