Normale Körpererweiterungen/ Normale Hüllen

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Chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »
Normale Körpererweiterungen/ Normale Hüllen
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich wollte gerne zu folgender Aufgabe mal wissen, ob ich hier richtig liege mit meinen Antworten.

Aufgabe:
Sind diese Körpererweiterungen normal ? Bestimme eine normale Hülle.
(1)
(2)

Definitionen:
1. Eine algebraische Körpererweiterung K Teilmenge L heißt normal,
wenn gilt: Ist f aus K[X] irreduzibel, und besitzt f eine Nullstelle in L, so liegen alle (komplexen) Nullstellen von F in L.

2. Es sei K Teilmenge L eine algebraische Körpererweiterung. Man nennt einen Körper N mit L Teilmenge N eine normale Hülle von L über K, wenn N der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus L ist.

Meine Ideen:
zu (1)

Da das Minimalpolynom zu genau ist und auch irred. über diesem Körper ist, aber 4 komplexe Nullstellen besitzt, die alle in enthalten sind:




zerfällt das Minimalpolynom also komplett über in irreduzible Linearfaktoren, somit ist die Körpererweiterung normal und auch der Zerfällungskörper von Alpha, somit auch direkt die normale Hülle.

zu(2)
Aber jetzt bin ich leider etwas verwirrt, da ich hier eigentlich komplett gleich Argumentieren würde und dann auch zum selben Ergebnis kommen würden, was ich eher unwahrscheinlich für eine Übungsaufgabe halte.
Deshalb meine Frage:
In wie fern macht der kleinere Körper bzw. hier einen Unterschied, außer das das Minimalpolynom zu Alpha Koeffizienten aus diesem Körper besitzen muss?
Habe ich eventuell etwas in den Definitionen falsch verstanden!? :/

Würde mich über jegliche Hinweise freuen!

Gruß Chrissi
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sind die 4 Nullstellen von in ?
 
 
Chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das bisher so verstanden:
Es gilt ja
somit doch auch
und (additives Inverses)
und (jeweils die Quadrate)

somit doch auch
genauso wie die beiden weiteren Nullstellen. Da es sich doch immer um die Addition und Multiplikation von Elementen aus handelt, sind diese doch wieder in selbigem Körper.


Aber mir fällt gerade auf das die erste Folgerung "" vielleicht doch nicht richtig ist. Ich dachte bisher immer, dass wenn die Summe im Körper ist, das auch die Summanden im Körper sein müssen...

Sollte das nicht der Fall sein, wären ja nur und (additives Inverses) im Körper enthalten und die anderen beiden Elemente nicht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chrissi1993
Es gilt ja
somit doch auch

Warum sollte das gelten ?

Deine Zweifel sind berechtigt. Was man nicht beweisen kann, darf man nicht benutzen.

Du könntest dir zunächst einmal überlegen, welchen Grad über hat.
Chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, da hab ich wohl irgendetwas falsch verstanden gehabt...

Aber gut, dann wären ja eigentlich beide Körpererweiterungen nicht normal, da das Minimalpolynom bzw. ja dann Nullstellen hat, welche nicht in liegen.

Zu dem von dir angesprochenen Grad:
Das Minpol. zu ist und hat Grad 2, somit gilt und f oben das Minpol. zu hat Grad 4, somit gilt und nach Gradformel folgt also:


jetzt weiß ich nur nicht ganz worauf du damit hinaus wolltest?


Dann müsste ich doch zu nur eine weitere Nullstelle des Minpol. hinzufügen um den Zerfällungskörper des Minpols. zu haben, da die Nst. ja dasselbe Minpol. besitzt und der Zerfällungskörper dann auch direkt die normale Hülle ist, sprich:

N wäre doch nach Definition eine normale Hülle zu (1) und auch (2) oder nicht?

Ich weiß nicht ob ich die Definitionen noch nicht richtig verstanden habe, aber ich verstehe gerade nicht welchen Unterschied der kleinere Körper bzw. bei der Normalität und der Bestimmung der normalen Hülle spielt ? Könntest du mir da mal einen Hinweis/eine Erklärung zu geben?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"Nichts genaues weiß man nicht." Augenzwinkern Ich habe ein wenig ausprobiert und nach Teilkörpern gesucht. Dabei beginne ich mit , und es ist sofort klar, dass auch , und auch enthalten muss. Damit haben wir die 4 Nullstellen des Zerfällungskörpers schon mal höchstens 2 Körpern zugeordnet. Woher wissen wir, dass eine Körpererweiterung von ist ? (Berechne ). Wenn es so ist, haben wir einen biquadratischen Zahlkörper mit quadratischem Teilkörper über . Gibt es noch weitere Teilkörper ?

Lässt sich daraus konstruieren ? Wenn ja, sind wir fast fertig. (Meine Antwort nach einigen Additionen und Multiplikationen ist ja. Der Schlüssel zum Erfolg ist für mich ). Soviel ich sehe, hast du keine Verständnisprobleme, aber entweder brauchst du eine kleine Theorie der biquadratischen Zahlkörper oder du musst konstruktiv rechnen. Ich sehe nicht, wie man aus den Polynomen auf die Zerfällungskörper schließen kann. Ein allgemeines Polynom vom Grad 4 hat eine Galoisgruppe der Ordnung 4!=24, und mein Bestreben ist es, die Ordnung der Gruppe und damit den Grad der Körpererweiterung so klein wie möglich zu machen, indem ich die Teilkörper aufbaue und daraus Schlüsse ziehe.

Ich glaube nunmehr, dass der Zerfällungskörper tatsächlich den Grad 4 über hat. Du darfst noch ein wenig probieren, vielleicht kannst du das dann bestätigen.
Chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »

"Woher wissen wir, dass eine Körpererweiterung von ist ? (Berechne )."

Das hatte ich hier gar nicht erwähnt, da die Aufgabe ja schon sagte das es sich hierbei um eine Körpererweiterung handelt. Aber sicher, um sich das nochmal klar zu machen, kann man einfach betrachten, welches ja beinhaltet.

"Gibt es noch weitere Teilkörper ?"
Weitere Teilkörper von behaupte ich gibt es nicht, da doch die einzigen Elemente sind die in sind aber nicht in Q, denn wenn Alpha drin ist, ist automatisch ja auch alpha^2 drin, somit ist es der einzige Teilkörper.

Jedoch weitere Teilkörper des Zerfällungskörpers könnte es geben. Wie du ja sagtest, wenn ich mir anschaue, könnte ich einen Teilkörper finden.
Dies führt mich zur selben Frage, über welche ich vorhin schon nachdachte. Wenn ich nun den Körper betrachte, vom dem ich annehme der Zerfällungskörper für das Polynom f zu sein, da ja Alpha und das komplex kunjugierte Alpha beides f als Minpol. haben, welches vom Grad 4 ist und somit müsste dies ja eine Erweiterung vom Grad 4 sein oder nicht?

Desweiteren Frage ich mich, auch wenn es nicht für die Aufgabe gebraucht wird, aber was ist dann das hier ja wieder f das minpol. ist, aber diesmal jeweils zu beiden Körpern, bin ich mir nicht sicher ob es hier wieder einfach der Grad von f, also 4 ist, oder spielt das keine ob die Minpols. der beiden Körper dasselbe ist?!

Aber festhalten können wir das beide Erweiterungen nicht normal sind.
Die Frage ob wirklich der Zerfällungskörper ist (somit auch die normale Hülle) bleibt nur noch zu klären, wobei von meiner Seite aus nichts dagegen spricht...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz nahe dran an dem, was ich mir so ausgedacht habe. Das freut mich, dass endlich mal wieder jemand bereit ist mitzuarbeiten. Das macht es doch gleich viel mehr Sinn, und wir haben beide etwas davon. smile Was hältst du von der folgenden Idee ?






Im Zerfällungskörper von über haben wir also drei quadratische Zahlkörper gefunden, die von erzeugt werden.

Andererseits benötigen wir nur und die quadratische Erweiterung , um als Kompositum der beiden quadratischen Teilkörper herzustellen, denn und sind ja Summen und Produkte mit rationalen Zahlen und den beiden Generatoren und .

Dürfen wir daraus schließen, dass der gesuchte Zerfällungskörper den Grad 4 über hat und seine Galoisgruppe die nichtzyklische abelsche Gruppe der Ordnung 4, also die Kleinsche Gruppe ist ?

Ich glaube, das ist so, und wir bekommen so das Resultat geschenkt. (Ist es wirklich so, und kann man das auch anders herleiten ?) Wenn das so stimmt, sind alle beteiligten Körpererweiterungen normal.
Chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine super Idee, den Anfang hatte ich auch recht ähnlich in meinen Notizen stehen, jedoch habe ich nicht an gedacht, danke!
Da diese Gleichung ja gilt, kann ich doch folgern, dass den Grad 4 hat und somit gilt .

Da aber i nicht in ist und gilt, sollte ja auch gelten:

.

Was nun leider deiner Vermutung wiedersprechen würde, da wäre.

Oder was meinst du?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man mit anfangen und daraus die Wurzel ziehen? Führt das schneller zum Ziel? Mir fehlt dann leider eine , die ich adjungieren muss.
Ich weiß es nicht, und es kann so sein wie du sagst, dass der Zerfällungskörper von tatsächlich den Grad 8 über den rationalen Zahlen hat.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: Ich weiß es immer noch nicht, aber ich werde es wissen, denn ich habe jemanden gefunden, der es weiß: https://www.math.uni-sb.de/ag/gekeler/PE...iten/Erdorf.pdf
(Mir war noch duster in Erinnerung, dass die kubische Resolvente eine große Rolle bei biquadratischen Gleichungen spielt, in der Arbeit stehen die entscheidenden Fakten.
Soeben habe ich festgestellt, dass ich mir diese Arbeit schon Anfang 2017 besorgt hatte, ich hätte sie genauer lesen sollen.)

Nachtrag zum Nachtrag: Jetzt ist alles klar, insbesondere ist klar, warum wir nicht zeigen konnten, dass die Galoisgruppe die ist. Egal was wir machen, der Grad ist 8.

Tipp für jede/n, der/die sich für Galoistheorie von Gleichungen interessiert: Studiere diese Arbeit.
(Prima, was man so als Bachelor im Saarland zustande bringt. Gott )
Chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir für den Link, den werde ich Zeitnah mal etwas genauer studieren.

Aber um Abschließend nochmal die Ergebnisse der Aufgabe zusammen zu fassen. Können wir also festhalten, dass beide Erweiterungen (1) und (2) nicht normal sind, da bei beiden Erweiterungen im Körper Q(Alpha) nicht alle Nullstellen des Minimalpolynoms zu Alpha enthalten sind.

Zu beiden Erweiterungen ist dann Zusätzlich der Körper der Zerfällungsköper vom Grad 8 des Minpol. f von Alpha und somit auch deren Normale Hülle.

Mich plagt immer noch die Frage, warum ich diese beiden Körpererweiterungen überprüfen soll, wenn sich die beiden gar nicht unterscheiden!? Oder habe ich etwas übersehen?

Aber selbst nach dieser etwas anderen Def. der Normalen Hülle:

Sei L|K eine algebraische Körpererweiterung, dann ist N die normale Hülle von L, wenn (a) N|K normale algebraische Erweiterung ist und es (b) keinen Zwischenkörper M \neq N gibt, für den M|K bereits normal ist.

würde ich sagen, dass es keinen Teilkörper von gibt, welcher bereits normal ist. Denn kein Teilkörper besitzt alle Nst. des Minpol. f zu alpha. Erst besitzt ja alle Nst. und ist deswegen auch Zerfällungskörper. Würde dies genauso als Erklärung zählen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bei der ganzen Untersuchung des Normalkörpers die Fragestellung vergessen, ob die Erweiterungen normal sind. Hammer Ich glaube, du hast recht ... wenn mir noch etwas dazu einfällt, melde ich mich wieder.
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