Frage zu Vektorräumen

13.01.2018, 14:46

GrafSeeger

Frage zu Vektorräumen

Meine Frage:
Hallihallo,

ich brüte gerade über meinem Übungsblatt und wollte mal um Hilfe bitten.
Es geht um Vektorräume.

Aufgabe:

(a) Sei $\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und seien $\begin{eqnarray*} U_{1} = <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} U_{2} = <\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$ Untervektorräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{4} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass x weder in $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ noch in $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$ , aber in $\begin{eqnarray*} U_{1} + U_{2} \end{eqnarray*}$ liegt.

(b) Berechnen Sie die Basis B von $\begin{eqnarray*} U_{1} + U_{2} \end{eqnarray*}$ und stellen Sie x als Linearkombination von Basisvektoren aus B dar.

So jetzt zu meiner Frage:

Von der Theorie weiß ich schon was ich machen muss ich weiß jedoch nicht wie ich z.B. formal zeigen soll dass x nicht in U1 liegt. Dass x nicht in U1 liegt ist mir klar, weil die 8 nicht durch eine Linearkombination aus U1 dargestellt werden kann, mit ist nur nicht klar, wie ich es genau aufschreiben muss^^

Grüße Tom

P.S. gibt es irgendwelche Websites oder gute lernhefte die ihr mir zum Üben empfehlen könntet?

Meine Ideen:
Hab ich ja schon oben angeführt.

13.01.2018, 17:31

Mulder

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RE: Frage zu Vektorräumen

Zitat:

Original von GrafSeeger
Dass x nicht in U1 liegt ist mir klar, weil die 8 nicht durch eine Linearkombination aus U1 dargestellt werden kann, mit ist nur nicht klar, wie ich es genau aufschreiben muss

Nimm doch einfach mal an, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ würde in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ liegen und erstell ein entsprechendes LGS. Dieses LGS wirst du dann leicht zu einem Widerspruch führen können. Den richtigen Gedanken dazu hattest du ja bereits. Musste nur noch zu Papier bringen. Oder zu Bildschirm, wie auch immer. Augenzwinkern