Poisson Prozess

13.01.2018, 15:58

Gast11

Poisson Prozess

Hallo zusammen,

Sei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ein Poisson-Prozess mit Intensität $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} (X(t))_{t\geq 0} \end{eqnarray*}$ sei definiert als, $\begin{eqnarray*} X(t)=0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ ungerade und $\begin{eqnarray*} X(t)=1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ gerade.

Ich soll nun den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und die Kovarianzfunktion berechnen:

Ewartungswert ist recht einfach.

Definiere $\begin{eqnarray*} X(t)=cos(\frac{\pi}{2}N(t))^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann erhalte ich beim berechnen von $\begin{eqnarray*} E[X(t)] \end{eqnarray*}$ eine unendliche Summe die dem $\begin{eqnarray*} cosh \end{eqnarray*}$ gleicht und damit das Ergebnis $\begin{eqnarray*} e^{\lambda t}cosh(\lambda t) \end{eqnarray*}$ .

Wie gehe ich aber bei der Covarianzfunktion vor?

Danke für die Hilfe!

13.01.2018, 17:22

Gast11

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Hallo zusammen,

meine Vorgehensweise für die Kovarianzfunktion ist für $\begin{eqnarray*} s\leq t \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{2}N(t))^2-cos(\frac{\pi}{2}N(s))^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -sin(\frac{\pi}{2}(N(t)+N(s)))sin(\frac{\pi}{2}(N(t)-N(s))) \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} N(t)-N(s) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} N(s) \end{eqnarray*}$ unabhängig, da wir einen Poission Prozess haben.

Stünde oben nicht der Faktor $\begin{eqnarray*} -sin(\frac{\pi}{2}(N(t)+N(s))) \end{eqnarray*}$ , so wäre auch

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{2}N(t))^2-cos(\frac{\pi}{2}N(s))^2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{2}N(s))^2 \end{eqnarray*}$ unabhängig.

Doch bei näherer Betrachtung spielt dieser Faktor keine Rolle, denn er ist für jegliche Realisierung von $\begin{eqnarray*} N(s) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , woraus sich bei einsetzen sofort die Unabhängigkeit ergibt.

Damit ist

$\begin{eqnarray*} Cov(X(t),X(s))= Cov(X(t)-X(s),X(s))+Cov(X(s),X(s))=Var[X(\min(s,t))] \end{eqnarray*}$

Und weiter

$\begin{eqnarray*} Var[X(\min(s,t))]=E[X(\min(s,t))^2]-E[X(\min(s,t))]^2=E[X(\min(s,t))]-E[X(\min(s,t))]^2 \end{eqnarray*}$

Was sagt ihr?

13.01.2018, 18:34

HAL 9000

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Ohne jetzt hier irgendwas gerechnet zu haben ist mir klar, dass $\begin{align*} E(X(t))\to \frac{1}{2} \end{align*}$ für $\begin{align*} t\to\infty \end{align*}$ gelten muss! Insofern kann das hier

Zitat:

Original von Gast11
Dann erhalte ich beim berechnen von $\begin{eqnarray*} E[X(t)] \end{eqnarray*}$ eine unendliche Summe die dem $\begin{eqnarray*} cosh \end{eqnarray*}$ gleicht und damit das Ergebnis $\begin{eqnarray*} e^{\lambda t}cosh(\lambda t) \end{eqnarray*}$ .

nicht stimmen - hast du dich verschrieben und meinst stattdessen $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda t}\cosh(\lambda t) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Das würde zumindest sowohl für $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ als auch für $\begin{align*} t\to\infty \end{align*}$ Sinn machen.

13.01.2018, 18:51

Gast11

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Ja, sollte ein $\begin{eqnarray*} -\lambda t \end{eqnarray*}$ im Exponenten sein.

Und es fehlt ein = nach $\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$ im zweiten Post.

Grüße

14.01.2018, 17:26

Gast11

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Hallo zusammen,

außerdem soll ich noch $\begin{eqnarray*} R(t,s) := Cov(N(t),X(s)) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Jemand einen Ansatz, oder eventuell bereits den Ausdruck, der herauskommen soll?

Danke und Grüße!

15.01.2018, 08:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast11
Doch bei näherer Betrachtung spielt dieser Faktor keine Rolle, denn er ist für jegliche Realisierung von $\begin{eqnarray*} N(s) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , woraus sich bei einsetzen sofort die Unabhängigkeit ergibt.

Das verstehe ich nicht. Und die Vermutung

Zitat:

Original von Gast11
$\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{2}N(t))^2-cos(\frac{\pi}{2}N(s))^2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{2}N(s))^2 \end{eqnarray*}$ unabhängig.

mit anderen Worten

Zitat:

$\begin{align*} X(t)-X(s) \end{align*}$ ist von $\begin{align*} X(s) \end{align*}$ unabhängig

halte ich für falsch: Offenkundig ist

$\begin{align*} P(X(t)-X(s) = 1 \mid X(s)=0) > 0 \end{align*}$ aber $\begin{align*} P(X(t)-X(s) = 1 \mid X(s)=1) = 0 \end{align*}$ ,

damit ist es schon mal nichts mit dieser Unabhängigkeit.

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