Injektive stetige Funktionen |
13.01.2018, 17:01 | jjooo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Injektive stetige Funktionen hi, eg geht um die Frage 3 [attach]46269[/attach] Meine Ideen: Wenn u <v <w drei Zahlen sind, dann muß entweder f(u)< f(v)< f(w) oder f(u) > f(v)> f(w) sein. Anderenfalls wäre f(v)> f(u) und f(v)> f(w) oder dasselbe mit herumgedrehten Zeichen. Nach dem Zwischenwertsatz wird dann ein Funktionswert a mit f(v)> a > f(u) und f(v)> a> f(w) mindestens zweimal angenommen, nämlich einmal im Intervall (u,v) und einmal im Intervall (v,w), und das widerspricht der Injektivität. Zum Beweis der Aufgabe nimmt man zwei beliebige Zahlen u < v. Wenn f(u)< f(v) ist (der andere Fall ist analog), dann gibt es keine Zahlen p < q mit f(p)> f(q). Man kann die Zahlen u,v,p,q der Größe nach ordnen, und die geordnete Menge mit a =< b =< c =< d bezeichnen, sie hat 2,3 oder 4 Elemente. Dann gilt f(a) =< f(b) =< f(c) =< f(d) oder f(a) >= f(b) >= f(c) >= f(d). Bei 2 Elementen ist das klar, bei 3 auch (siehe oben), und für a < b < c < d stimmt es auch Im ersten Fall ist f(p)> f(q) unmöglich, und im zweiten Fall ist f(u)< f(v) unmöglich. Mit diesem Widerspruch ist die Aufgabe bewiesen aber irgendwie ich bin damit nicht zu frieden ist meine Lösung richtig ? oder habt ihr anderen ideen wie man die anderes schreibt Danke im Vorraus |
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