Injektive stetige Funktionen

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Injektive stetige Funktionen
Meine Frage:
hi, eg geht um die Frage 3

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Meine Ideen:

Wenn u <v <w drei Zahlen sind, dann muß entweder
f(u)< f(v)< f(w) oder f(u) > f(v)> f(w) sein.
Anderenfalls wäre f(v)> f(u) und f(v)> f(w) oder dasselbe mit herumgedrehten Zeichen.
Nach dem Zwischenwertsatz wird dann ein Funktionswert a mit
f(v)> a > f(u) und f(v)> a> f(w) mindestens zweimal angenommen, nämlich einmal im Intervall (u,v) und einmal im Intervall (v,w), und das widerspricht der Injektivität.

Zum Beweis der Aufgabe nimmt man zwei beliebige Zahlen u < v.
Wenn f(u)< f(v) ist (der andere Fall ist analog),
dann gibt es keine Zahlen p < q mit f(p)> f(q).

Man kann die Zahlen u,v,p,q der Größe nach ordnen, und die geordnete Menge mit
a =< b =< c =< d bezeichnen, sie hat 2,3 oder 4 Elemente.

Dann gilt f(a) =< f(b) =< f(c) =< f(d) oder f(a) >= f(b) >= f(c) >= f(d).
Bei 2 Elementen ist das klar, bei 3 auch (siehe oben), und für a < b < c < d stimmt es auch

Im ersten Fall ist f(p)> f(q) unmöglich, und im zweiten Fall ist f(u)< f(v) unmöglich. Mit diesem Widerspruch ist die Aufgabe bewiesen

aber irgendwie ich bin damit nicht zu frieden
ist meine Lösung richtig ? oder habt ihr anderen ideen wie man die anderes schreibt
Danke im Vorraus
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