Ableitung/Tangente (Stelle x0)

13.01.2018, 16:09	user425	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung/Tangente (Stelle x0) [attach]46270[/attach] Wie bestimmt man die Stelle x0 an der die Tagente an dieser Funktion, die Steigung 1 hat? Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen und auch die Ableitung zu bestimmen? Mein Ansatz: Mein Ansatz: Ableitung von Wurzel(e3x -1) = 1 / 2*Wurzel(e3x -1) ; Ableitung von arctan = 1/(1+x2)
13.01.2018, 19:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt die Kettenregel verwenden. Denn es handelt sich um eine Mehrfachverkettung: $\begin{align} y = \arctan u \ \ \text{mit} \ \ u = \sqrt{v} \ \ \text{mit} \ \ v = \operatorname{e}^{w} - 1 \ \ \text{mit} \ \ w = 3x \end{align}$ Die Ableitung nach $\begin{align} x \end{align}$ bekommst du, indem du die einzelnen Ableitungen miteinander multiplizierst und zum Schluß alle Größen resubstituierst, so daß du wieder die Abhängigkeit von $\begin{align} x \end{align}$ bekommst: $\begin{align} \frac{\dd y}{\dd x} = \color{red} \frac{\dd y}{\dd u} \color{black} \cdot \frac{\dd u}{\dd v} \cdot \frac{\dd v}{\dd w} \cdot \frac{\dd w}{\dd x} \end{align}$ Zum Beispiel ist $\begin{align} \color{red} \frac{\dd y}{\dd u} \end{align}$ die Ableitung von $\begin{align} y \end{align}$ nach der Variablen $\begin{align} u \end{align}$ , also $\begin{align} \color{red} \frac{\dd y}{\dd u} = \frac{1}{u^2 + 1} \end{align}$ . Und so mußt du auch die anderen Ableitungen bestimmen, diese miteinander multiplizieren und resubstituieren. Ich verrate dir das Ergebnis: $\begin{align} f'(x) = \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{3}{2 \sqrt{\operatorname{e}^{3x} - 1}} \end{align}$

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