Supremum Beweise

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum Beweise
Hallo zusammen,

ich würde mir gerne Rat einholen wie gut folgende zwei Aufgaben gelöst wurden und bei Fehlern dieser verbessern.

a) Für nichtleere beschränkte Mengen gilt Wobei

Meine Lösung:
Allgemein gilt sicher:
Sei
ist obere Schranke von
Es bleibt zu zeigen, dass s auch die kleinste obere Schranke ist:

Angenommen es existiere eine kleinere obere Schranke s'. Allgemein gilt dann:
und . Sei >0 mit Dann gilt:
s' ist keine kleinste obere Schranke.
s ist kleinste obere Schranke.

Aber wie zeige ich jetzt, dass und nicht nur ???


b) Für eine nichtleere beschränkte Menge gilt: . Mit

Meine Lösung:

Sei

sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo snexx_math,

zu a):
Im Prinzip gehst du schon richtig vor: Du betrachtest die Zahl s:=sup A·sup B und zeigst mit der Definition des Supremums, dass s = sup(A·B). Wenn du die beiden Schritte fertig hast, dann folgt die Behauptung.
Es hängt aber an einer Detailfrage: Warum sollte denn gelten? (Bzw.: Warum kann man das so wählen?)

zu b):
Hier fehlt tatsächlich der zweite Schritt: Warum soll denn -inf A die kleinste obere Schranke von -A sein? Ich würde evtl einen Widerspruchsbeweis versuchen: Angenommen, -A enthält eine kleinere obere Schranke, dann gewinnst du daraus eine größte untere Schranke von A, die größer als inf A ist, und damit einen Widerspruch.

LG
sibelius84
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es hängt aber an einer Detailfrage: Warum sollte denn gelten? (Bzw.: Warum kann man das so wählen?)


Ich hätte jetzt gesagt, dass ja beliebig und ist, daher folgt, dass für ein beliebig großes die Schranke - kleiner wird als das größte Element der Menge.

zu b)

Angenommen:


Dann gilt: ' ist keine kleinere obere Schranke

Besser ?

und nochmal zu a) habe ich mit

gezeigt ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage ist im Allgemeinen falsch. Richtig wird sie z.B. mit der Annahme, dass gilt.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann ich nicht anwenden ? unglücklich
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte ganz allgemein: Es ist falsch, dass gilt.

Edit: Wenn das gälte, so würde mit der Wahl von auch folgern, was gewissermassen b) widerspricht.
 
 
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Achso geschockt

Also ist allgemeingültig aber reicht aus um zu sagen es gibt den Fall, dass ?

und kann ich also auch machen wenn ??? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wähle . Dann ist .
Dann ist und .
Also gilt in dem Fall .

Ich würde eher vermuten gilt im Allgemeinen.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay , aber ist dann nicht noch iwas falsch bei meinem Beweis ? , weil es kann ja nicht
und gelten


und noch viel wichtiger für mich :
Zitat:
kann ich also auch machen wenn ??
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum Beweise
Zitat:
Original von Snexx_Math
Allgemein gilt sicher:
Sei


Die Folgerung ist falsch.

Die Aussage:
Es gibt , so dass gilt, stimmt. Man wähle einfach nahe am Supremum von .

Edit:
Es gibt also Mengen so dass
gilt Big Laugh
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum Beweise
Aber was ist daran falsch ? Ich schätze doch die einzelnen elemente nach oben ab und die Menge A•B ist ja die durch alle Elemente a•b definiert und dann kann ich doch die Abschätzung ( Folgerung) machen. Also ich erkenne den Fehler dabei nicht.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum Beweise
Nimm dir doch die Mengen , die ich oben vorgeschlagen habe. Und schaue nach, ob es gilt.

Edit: Etwas allgemeiner. Seien reelle Zahlen mit und . Dann folgt NICHT .
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum Beweise
Ja ok, das habe ich jetzt eingesehen.

1. Frage : Mein obiges Vorgehen kann ich also nur machen , wenn ?!?


2. Frage: Wie zeige ich denn dann jetzt für diese Aufgabe, dass eine obere Schranke existiert ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum Beweise
Seien .
Zitat:
Original von Snexx_Math
Meine Lösung:
Allgemein gilt sicher:
Sei
ist obere Schranke von

Da eine obere Schranke von ist, ist also .

Hier zeigst du, dass ist (auch wenn etwas ungenau):
Zitat:

Es bleibt zu zeigen, dass s auch die kleinste obere Schranke ist:

Angenommen es existiere eine kleinere obere Schranke s'. Allgemein gilt dann:
und . Sei >0 mit Dann gilt:
s' ist keine kleinste obere Schranke.
s ist kleinste obere Schranke.


Und hier weiss ich nicht was du noch zeigen willst
Zitat:
Aber wie zeige ich jetzt, dass und nicht nur ???
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum Beweise
Zitat:
Seien


Aber es muss doch für gelten verwirrt

Wir hatten ja gesagt, dass

Zitat:
Ich würde eher vermuten gilt im Allgemeinen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum Beweise
Es gilt für beschränkte Mengen :

Sei beliebig. Dann existieren so dass und . Da gilt also
.
Da beliebig und , folgt die Aussage.
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