Grenzwertberechnung

13.01.2018, 19:29

Snexx_Math

Grenzwertberechnung

Hallo zusammen,

ich wüsste gerne , wie ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!} \end{eqnarray*}$ berechne.

Mein Ansatz wäre jetzt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{(n-1)} \cdot ... \sqrt[n]{1} \rightarrow (n \rightarrow \infty) 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = n^{\frac{1}{n}} \rightarrow (n \rightarrow \infty) = n^{0} = 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das ?

13.01.2018, 19:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du aber ein schlechtes Gedächtnis: Dasselbe hast du vor knapp zwei Wochen schon mal gefragt:

https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=583223

Jetzt aber eine Runde schämen! Augenzwinkern

13.01.2018, 19:58

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man

Aber kein Wunder bei den Mengen , was man in der Uni um die Ohren bekommt Augenzwinkern

Jetzt wird es sich gemerkt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!} = \infty \end{eqnarray*}$

aber $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = n^{\frac{1}{n}} \rightarrow (n \rightarrow \infty) = n^{0} = 1 \end{eqnarray*}$ war richtig oder ?

LG

13.01.2018, 20:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grenzwert 1 ist richtig, die Begründung via eines obskuren $\begin{eqnarray*} n^0 \end{eqnarray*}$ aber nicht.

13.01.2018, 20:05

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sähe denn da die Musterbegründung aus ? unglücklich

13.01.2018, 20:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir noch bei der Fehleranalyse (ich sehe da eine gewisse Uneinsichtigkeit in deinem unglücklich

): Wenn du

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = \lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} \stackrel{?}{=} \lim_{n\to\infty} n^0 = 1 \end{align*}$

schließt, hättest du mit derselben Begründung ja auch oben

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!} = \lim_{n\to\infty} n!^{\frac{1}{n}} \stackrel{?}{=} \lim_{n\to\infty} n!^0 = 1 \end{align*}$

rechnen können. Dir sollte klar sein, dass diese Schlussweise oberfaul ist.

13.01.2018, 20:18

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Witz paßt zwar nicht ganz auf den kardinalen Denkfehler von Snexx_Math , dennoch ist er mir in diesem Zusammenhang eingefallen.

Um die Gefahren eines doppelten Grenzübergangs zu verdeutlichen, erzählte der Professor die folgende Geschichte: Ein Mann ging zum Arzt. Wenn er länger leben wolle, riet ihm dieser, solle er öfter essen, dafür aber weniger. Von da ab aß der Mann immer nichts.

13.01.2018, 20:18

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

ok , aber ich muss ehrlich zugeben, auf die Beweisführung bzw. Grenzwertberechnung aus dem anderen Thread wäre ich nie im Leben gekommen.

Es liegt nicht mal daran, dass ich so faul bin , sondern eher daran, dass ich nicht weiß wie ich es anders machen soll. verwirrt

13.01.2018, 20:19

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt hier nicht die Musterlösung. Mir persönlich gefällt am besten die Variante:

Man definiert $\begin{align*} a_n:=\sqrt[n]{n}-1 \end{align*}$ und schätzt dann für $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ gemäß Binomischen Satz ab

$\begin{align*} n = (1+a_n)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_n^k \geq 1 + \frac{n(n-1)}{2}a_n^2 \end{align*}$

umgestellt $\begin{align*} 0< a_n \leq \sqrt{\frac{2}{n}} \end{align*}$ . Und dann greift der Sandwichsatz.

Zitat:

Original von Snexx_Math
Es liegt nicht mal daran, dass ich so faul bin

"Oberfaul" habe ich im Sinne von "anrüchig" gemeint ("diese Schlussweise stinkt"), nicht als Vorwurf mangelnden Fleißes an dich - das hast du hoffentlich nicht falsch verstanden. Augenzwinkern

13.01.2018, 20:36

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein keine Sorge, das habe ich nicht Augenzwinkern

Zitat:

Und dann greift der Sandwichsatz.

Habe ich verstanden. Ich denke erstmal wird es jetzt darauf laufen , dass ich mir die beiden Grenzwerte erstmal "merke" . Wobei ich natürlich die Beweise für die beiden nachvollziehen kann allerdings ist meine mathematische Denkweise für diese Weg noch zu unausgereift um selber darauf zu kommen Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwertberechnung

Verwandte Themen