Stetigkeit von x^2*ln|x| an der Stelle 0

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Philipp2706 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von x^2*ln|x| an der Stelle 0
Hallo zusammen, Wink
ich würde gerne einmal von euch wissen ob meine Überlegungen richtig sind.
Es geht um folgende Funktion:



Die Frage ist jetzt ob x in x=0 stetig ist.

Ich habe die Situation so verstanden:
Die Definition von Stetigkeit ist ja, das der links- und rechtsseitige Grenzwert existiert und gleich sind. Also von beiden Funktionsabschnitten.

Das ist hier ja:

und


Also muss ich beide Funktionen jetzt gegen 0 laufen lassen.

Kann ich g(x) als konstante Funktion betrachten?? Diese Funktion hätte ja dann den Grenzwert 0.

(Musste ich leider als Bild anhängen)

[attach]46274[/attach]
[attach]46275[/attach]

Ok jetzt haben beide Funktionen 0 als Grenzwert. Damit ein Grenzwert existiert muss er aber größer als 0 sein richtig?

Somit haben beide Funktionen zwar den selben "Grenzwert" aber es besteht an der Stelle keine Stetigkeit.

Sind meine Überlegungen soweit richtig?

Vielen Dank schonmal smile Freude
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Somit haben beide Funktionen zwar den selben "Grenzwert" aber es besteht an der Stelle keine Stetigkeit.


Schulmathe oder Hochschule? In jedem Fall hast Du den Begriff der Stetigkeit leider nicht verstanden, denn genau das Gegenteil ist der Fall: Eine Funktion heisst stetig an einer Stelle a, wenn dort rechts- und linksseitiger Grenzwert der Funktionswerte übereinstimmen.
Ich kann darüber hinaus auch nicht erkennen, wie Du auf den Grenzwert von h(x) gekommen bist. Vermutlich mit der falschen Begründung ?
Philipp2706 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich Hochschulmathematik. Aber viele meiner Fragen wurden auch schon verschoben. Deshalb war ich mir nicht sicher wohin.

Ich muss mich da auch einmal korrigieren. Man muss den Grenzwert natürlich mit dem Differenzenquotienten berechnen.

Also so wie im Anhang.


Zitat:
Eine Funktion heisst stetig an einer Stelle a, wenn dort rechts- und linksseitiger Grenzwert der Funktionswerte übereinstimmen.


Klar sorry ich habe da was durcheinander gebracht.

Ich meinte dass so dass links- und rechsseitiger GW für diese Stelle gleich sein müssen.
Und das habe ich mit der Definition wann ein Grenzwert überhaupt existiert durcheinander gebracht.

Kann man grundsätzlich sagen dass ein Grenzwert existiert wenn eine Zahl rauskommt? (auch die 0)
Also alles bis auf +- unendlich?

Bei beidseitigen Grenzwerten wäre die Definition ob der GW existiert dann ja wenn auf beiden Seiten das gleiche (aber alles bis auf +- unendlich) rauskommt.

Ist das so richtig?
Philipp2706 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade das ich bei dem Grenzwert l´hospital anwenden muss. Ich konnte den Beitrag leider nicht mehr bearbeiten. Spam
Philipp2706 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also das hier ist jetzt hoffentlich richtig (Anhang)

Ich denke jetzt auch dass die Funktion an der Stelle stetig ist.

Ich habe, wenn jetzt alles richtig ist, aber noch die zwei Fragen von oben:

Zitat:
Kann man grundsätzlich sagen dass ein Grenzwert existiert wenn eine Zahl rauskommt? (auch die 0) Also alles bis auf +- unendlich? Bei beidseitigen Grenzwerten wäre die Definition ob der GW existiert dann ja wenn auf beiden Seiten das gleiche (aber alles bis auf +- unendlich) rauskommt.


und

Zitat:
Kann ich g(x) als konstante Funktion betrachten?? Diese Funktion hätte ja dann den Grenzwert 0.


Danke schonmal smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp2706
Ich muss mich da auch einmal korrigieren. Man muss den Grenzwert natürlich mit dem Differenzenquotienten berechnen.

Nein, muß man nicht. Es sei denn, du willst Differenzierbarkeit zeigen, woraus dann natürlich auch die Stetigkeit folgt.

Zitat:
Original von Philipp2706
Kann man grundsätzlich sagen dass ein Grenzwert existiert wenn eine Zahl rauskommt? (auch die 0)
Also alles bis auf +- unendlich?

Ja. Ist der Grenzwert +- unendlich spricht man von einem "uneigentlichen Grenzwert".

Zitat:
Original von Philipp2706
Bei beidseitigen Grenzwerten wäre die Definition ob der GW existiert dann ja wenn auf beiden Seiten das gleiche (aber alles bis auf +- unendlich) rauskommt.

Ist das so richtig?

Nun ja. Erst kommt die Definition des Grenzwerts. Aus dieser folgt dann die Äquivalenz mit der Existenz der beidseitigen Grenzwerte.

Zitat:
Original von Philipp2706
Zitat:
Kann ich g(x) als konstante Funktion betrachten?? Diese Funktion hätte ja dann den Grenzwert 0.


Danke schonmal smile

Ich habe nicht verstanden, was du mit den Funktionen h(x) und g(x) veranstalten willst. geschockt
 
 
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