Unterbestimmes LGS

14.01.2018, 13:15

Ulysses133

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Unterbestimmes LGS

Meine Frage:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems:

$\begin{eqnarray*} 0x_{1} + 4x_{2} +3x_{3} + x_{4}+5x_{5} =1<br /> x_{1} +3x_{2} +2x_{3} +4x_{4} +2x_{5} =1 <br /> 3x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + x_ {4} + 0x_{5} = 1<br /> 2x_{1} +2x_{2} +3x_{3} -2x_{4} +3x_{5} =1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Durch umstellen bin ich auf folgende Lösung gekommen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 4 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 9 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist jetzt, dass ich keine Gleichung mit nur 2 Unbekannten erhalten habe und deswegen nicht weiß, wie ich weitermachen soll.
Ich hab zwar $\begin{eqnarray*} x_{5} = t \end{eqnarray*}$ bestimmt und erhalte:

$\begin{eqnarray*} <br /> x_{1} = \frac{1}{4} - \frac{11}{36} t - \frac{17}{36} x_{3}<br /> x_{2} = \frac{1}{4} - \frac{49}{36} t - \frac{29}{36} x_{3}<br /> x_{4} = \frac{4}{9} t + \frac{2}{9} x_{3} <br /> \end{eqnarray*}$

Ist das so als Lösung in Ordnung?
Schließlich habe ich es ja zusätzlich noch in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

14.01.2018, 14:00

sixty-four

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Als erstes musst du den Rang der Koeffizientenmatrix bestimmen. Wenn die Umformung der Koeffizientenmatrix so wie du sie aufgeschrieben hast, korrekt ist, dann ist der Rang 3. Da du 5 Variablen hast, hat der Lösungsvektorraum des zugehörigen homogenen Systems die Dimension 2. Das heißt, die allgemeine Lösung des Gleichungssystems muss zwei Parameter haben. Deine Lösung sollte dann die Form

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{x} = \mathfrak{x_0}+ s\mathfrak{x_1}+t\mathfrak{x_2} \end{eqnarray*}$

haben. Dabei ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak{x_0} \end{eqnarray*}$ eine spezielle Lösung des inhomogenen und $\begin{eqnarray*} s\mathfrak{x_1}+t\mathfrak{x_2} \end{eqnarray*}$ die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Systems.

14.01.2018, 14:04

Ulysses133

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Danke für deine Hilfe

Aber ehrlich gesagt, fehlt es mir da wohl etwas an Wissen
Rang ist mir noch klar
Dimension und (in-)homogen dann nicht mehr

14.01.2018, 14:05

Ulysses133

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Die Form habe ich doch , oder nicht?

Nur, dass es bei mir $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ heißt, statt s

14.01.2018, 14:29

sixty-four

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Zitat:

Original von Ulysses133
Danke für deine Hilfe

Aber ehrlich gesagt, fehlt es mir da wohl etwas an Wissen
Rang ist mir noch klar
Dimension und (in-)homogen dann nicht mehr

Ein homogenes Gleichungssystem ist eines, wo auf der rechten Seite der Nullvektor steht. Wenn rechts nicht der Nullvektor steht, ist es ein inhomogenes System. Die Allgemeine Lösung eines inhomogenen Systems setzt sich zusammen aus einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems und der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems. (Das ist das System, das entsteht, wenn man auf der rechten Seite lauter Nullen einsetzt).
Jetzt muss man noch wissen, dass die Lösungen eines homogenen Systems einen Vektorraum bilden. (Versuche mal, das zu beweisen. Das ist nicht schwer). Die Dimension d (d.h. die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren) kannst du durch d=n-r berechnen. Dabei ist n die Anzahl der Variablen.

Für die Lösung eines linearen Gleichungssystems gibt es folgenden "Fahrplan":

1. Rang r der Koeffizientenmatrix bestimmen.
2. Rang r' der erweiterten Matrix bestimmen ( Das ist die Matrix, die entsteht, wenn die rechte Seite als Spalte angefügt wird)
3. Lösungsbedingung überprüfen. Das Gleichungssystem ist lösbar, wenn r=r' ist. Wenn r' > r ist gibt es keine Lösung.
4. eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems ermitteln.
5. allgemeine Lösung des homogenen Systems ermitteln.

14.01.2018, 14:33

sixty-four

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Zitat:

Original von Ulysses133
Die Form habe ich doch , oder nicht?

Nur, dass es bei mir $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ heißt, statt s

$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ kann nicht auf der rechten Seite stehen. Du willst doch einen Ausdruck für
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\\x_5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
haben. Also muss dieser Vektor linkst stehen und rechts die Lösung.

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15.01.2018, 07:58

Ulysses133

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In dem Fall ist ja r = r'

Also brauche ich jetzt "nur" noch die spezielle Lösung des inhomogenen und dann die allgemeine des homogenen Systems finden

Wie mache ich das denn?

15.01.2018, 08:25

sixty-four

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Zitat:

Original von Ulysses133
Wie mache ich das denn?

Der Rang ist 3, also kannst du eine der 4 Gleichungenn (z.B. die letzte) in die Tonne treten, da sie eine Lineearkombination der anderen 3 ist.
Dann suchst du dir 3 Variablen aus, so dass deren Koeffizientendeterminante von 0 verschieden ist (wenn du die 4. Gleichung wegnimmst, sind das z.B. $\begin{eqnarray*} x_1,x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du $\begin{eqnarray*} x_4 \text{ und }x_5 \end{eqnarray*}$ beliebig wählen und bekommst für $\begin{eqnarray*} x_1,x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung. Das machst du einmal für das inhomogene System und zweimal für das homogene System, wobei du hier darauf achten musst, dass die Basis des Lösungsvektorraumes auch aus lin. unabhängigen Vektoren bestehen muss. Du kannst also nicht zweimal die selben Werte wählen.

15.01.2018, 09:26

Ulysses133

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Fangen wir mal mit dem inhomogenen System an:

Ich wähle $\begin{eqnarray*} x_{4} = 1 , x_{5} = 2 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich also
$\begin{eqnarray*} <br /> 4x_{2} + 3x_{3} + 1 + 10 = 1<br /> x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} + 4 + 4 = 1<br /> 3x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + 1 = 1<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich ja drei Gleichungen und drei Unbekannte (was wohl Sinn der Sache war) und erhalte (vorausgesetzt ich habe mich nicht irgendwo verrechnet): $\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{5}{8} , x_{2} = -\frac{23}{8} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{3} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt noch zweimal für das homogene System mache, darf ich also nicht wieder $\begin{eqnarray*} x_{4} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{5} = 2 \end{eqnarray*}$ wählen? Hab ich das richtig verstanden?

15.01.2018, 09:49

sixty-four

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Zitat:

Original von Ulysses133

Wenn ich das jetzt noch zweimal für das homogene System mache, darf ich also nicht wieder $\begin{eqnarray*} x_{4} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{5} = 2 \end{eqnarray*}$ wählen? Hab ich das richtig verstanden?

Einmal schon, aber nicht beide Male. Bei den Basisvektoren kommt es auch nur auf die Richtung an. Das heißt du kannst sie mit einem beliebigen Faktor multiplizieren so, dass alle Komponenten ganzzahlig sind.
Am Ende solltest du eine Probe machen, ob dein Ergebnis auch stimmt. Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet.

15.01.2018, 10:45

Ulysses133

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Also kann ich zum Beispiel das $\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$ ,das ich gerade ausgerechnet habe mit 8 multiplizieren, so dass ich $\begin{eqnarray*} x_{1} = 5 \end{eqnarray*}$ erhalte!?

Ich habe jetzt auch mal das homogene System durchgerechnet:

Wieder habe ich $\begin{eqnarray*} x_{4} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{5} = 2 \end{eqnarray*}$ gewählt

Da erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} <br /> x_{1} = \frac{3}{8} <br /> x_{2} = - \frac{25}{8} <br /> x_{3} = \frac{1}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

Und einmal habe ich $\begin{eqnarray*} x_{4} = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{5} = 5 \end{eqnarray*}$ gewählt

=>
$\begin{eqnarray*} <br /> x_{1} = - \frac{1}{8} <br /> x_{2} = - \frac{77}{8} <br /> x_{3} = \frac{7}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

Die Probe habe ich für alle 3 Ergebnisse durchgeführt - stimmt alles

15.01.2018, 11:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ulysses133
Also kann ich zum Beispiel das $\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$ ,das ich gerade ausgerechnet habe mit 8 multiplizieren, so dass ich $\begin{eqnarray*} x_{1} = 5 \end{eqnarray*}$ erhalte!?

Das darfst du nur für eine homogene Lösung machen (und dann natürlich nur für alle Komponenten), nicht für eine inhomogene Lösung. Im übrigen hätte ich für die Bestimmung der inhomogenen Lösung einfach x_4 = x_5 = 0 gewählt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Ulysses133
Ich habe jetzt auch mal das homogene System durchgerechnet:

Wieder habe ich $\begin{eqnarray*} x_{4} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{5} = 2 \end{eqnarray*}$ gewählt
...
Und einmal habe ich $\begin{eqnarray*} x_{4} = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{5} = 5 \end{eqnarray*}$ gewählt

Möglich, aber etwas kompliziert. Viel einfacher und auch narrensicher, um linear unabhängige Lösungen zu erhalten, ist x_4 = 1 und x_5 = 0 sowie x_4 = 0 und x_5 = 1. smile

smile

15.01.2018, 11:16

Ulysses133

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Nachdem ich es dann gelöst hatte, dachte ich mir auch, dass ich es mir mit der 0 deutlich einfacher hätte machen können, aber gut, jetzt ist es erledigt Freude

Freude

Jetzt weiß ich nur noch nicht, wie ich damit die Lösungsmenge des LGS bestimmen kann

15.01.2018, 11:18

klarsoweit

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Dazu hat sixty-four schon was gesagt:

Zitat:

Original von sixty-four
Die Allgemeine Lösung eines inhomogenen Systems setzt sich zusammen aus einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems und der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems.

EDIT: und damit bin ich auch wieder raus, denn sixty-four ist anwesend, wie ich gerade sehe.

15.01.2018, 11:20

sixty-four

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Zitat:

Original von Ulysses133
Also kann ich zum Beispiel das $\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$ ,das ich gerade ausgerechnet habe mit 8 multiplizieren, so dass ich $\begin{eqnarray*} x_{1} = 5 \end{eqnarray*}$ erhalte!?

Nein, das gilt nur für die Lösungen des homogenen Systems, natürlich nicht für die spezielle Lösung.

Zitat:

Original von Ulysses133

Die Probe habe ich für alle 3 Ergebnisse durchgeführt - stimmt alles

Deine Lösung lautet jetzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix}= \mathfrak{x_0}+\lambda_1\mathfrak{x_1}+\lambda_2\mathfrak{x_2} \end{eqnarray*}$

Dafür musst du die Probe machen. Nicht für jeden einzelnen Vektor.

15.01.2018, 11:24

Ulysses133

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Das ist mir nicht ganz klar.

Du sagtest zwar, dass es sich zusammensetzt, aber ich verstehe nicht, wie ich das jetzt zusammensetzen soll
Da steh ich gerade auf dem Schlauch

15.01.2018, 11:31

sixty-four

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Also nochmal ausführlich:

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{x}=\frac18\begin{pmatrix} 5 \\ -23 \\4\\8\\16 \end{pmatrix}+\lambda_1\begin{pmatrix} 3 \\ -25 \\4\\8\\16 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} -1 \\ -77 \\28\\24\\40 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So sieht jetzt deine Lösung aus. (Wenn ich mich nicht geirrt habe und du auch nicht)

15.01.2018, 11:40

Ulysses133

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Jetzt ist der Groschen gefallen

Im ersten Fall die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ und dementsprechen mit 8 multipliziert und bei den Lösungen für das homogene System die Brüche ganzzahlig multipliziert
Das hatte ich noch nicht begriffen, aber nun ist es klar geworden

Vielen Dank für die Hilfe

15.01.2018, 11:48

sixty-four

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Zitat:

Original von Ulysses133
Jetzt ist der Groschen gefallen

Im ersten Fall die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ und dementsprechen mit 8 multipliziert und bei den Lösungen für das homogene System die Brüche ganzzahlig multipliziert
Das hatte ich noch nicht begriffen, aber nun ist es klar geworden

Vielen Dank für die Hilfe

Sehr gerne. Es ist jetzt egal, welche Werte du für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, es muss sich immer eine Lösung ergeben. Das heißt: Bei der Probe müssen die sich eliminieren. Du kannst also setzen:

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac58+3\lambda_1 -\lambda_2 \end{eqnarray*}$ und entsprechendes für die anderen Variablen.

15.01.2018, 12:38

Ulysses133

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Hab damit jetzt mal die Probe gemacht und komme auf's richtige Ergebnis - prima Freude

Freude

Big Laugh

15.01.2018, 13:13

sixty-four

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Dann hast du es geschafft. Gratuliere.

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