Konvergenz in Verteilung, Grenzverteilung berechnen (Weibull)

14.01.2018, 15:22	Diana111	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz in Verteilung, Grenzverteilung berechnen (Weibull) Meine Frage: Hallo Ich sitze gerade an einer Stochastik Aufgabe, die ich leider nicht lösen kann. Die Frage lautet: X1, X2, ... seien unabhängig mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1-e^{-x}}{1-e^{-1}} I(0,1)(x)+I[1,\infty )(x) \end{eqnarray}$ Zeige, dass die durch $\begin{eqnarray} Zn = n\frac{max(X1,...Xn)-1}{e-1} /latex] gegebene Folge von Zufallsvariablen in Verteilung konvergiert. Bestimme die Grenzverteilung (es handelt sich um eine Weibull-Verteilung).<br /> <br /> <b>Meine Ideen:</b><br /> Bisher habe ich folgendes gemacht:<br /> [latex] Fn(x) = P(Zn \leq x) = P(n\frac{max(X1,..,Xn)-1}{e-1}\leq x) <br /> = P(max(X1,..,Xn)\leq \frac{x(e-1)}{n}+1) <br /> = P(X1\leq \frac{x(e-1)}{n}+1)) \cdot \cdot \cdot P(Xn\leq \frac{x(e-1)}{n}+1))<br /> =(F(\frac{x(e-1)}{n}+1))^{n}<br /> = (\frac{1-exp(-\frac{x(e-1)}{n}-1) }{1-exp(-1)})^{n} I(-\infty ,0)(x) + I[0,\infty ) (x) \end{eqnarray}$ Weilbull-Verteilung: $\begin{eqnarray} F(x)=1-exp(-tx)^{k} \end{eqnarray}$ mit t, k größer 0 Ist meine bisherige Rechnung richtig? Und wie rechne ich jetzt den Grenzwert für n gegen unendlich raus, da kommt bei mir leider nur Unsinn raus. Danke im Vorraus LG Diana
14.01.2018, 15:26	Diana111	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz in Verteilung, Grenzverteilung berechnen (Weibull) $\begin{eqnarray} Zn = n\frac{max(X1,...Xn)-1}{e-1} \end{eqnarray}$ gegebene Folge von Zufallsvariablen in Verteilung konvergiert. Bestimme die Grenzverteilung (es handelt sich um eine Weibull-Verteilung).<br /> <br /> <b> Meine Ideen:</b><br /> Bisher habe ich folgendes gemacht:<br /> $\begin{eqnarray} Fn(x) = P(Zn \leq x) = P(n\frac{max(X1,..,Xn)-1}{e-1}\leq x) <br /> = P(max(X1,..,Xn)\leq \frac{x(e-1)}{n}+1) <br /> = P(X1\leq \frac{x(e-1)}{n}+1)) \cdot \cdot \cdot P(Xn\leq \frac{x(e-1)}{n}+1))<br /> =(F(\frac{x(e-1)}{n}+1))^{n}<br /> = (\frac{1-exp(-\frac{x(e-1)}{n}-1) }{1-exp(-1)})^{n} I(-\infty ,0)(x) + I[0,\infty ) (x) \end{eqnarray}$ Hier noch mal in richtiger Darstellung

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