Tangensfunktion

14.01.2018, 16:21

Koppi

Tangensfunktion

Meine Frage:
Hallo,
ein Beweis muss geführt werden zu der Periode & Symmetrie Eigenschaft vom Tangens. Also dass die Periode "Pi" beträgt und die Funktion ungerade ist. Diesen Beweis soll man mithilfe der Quadrantenbeziehung des tangens führen und sich an der Gleichhung tan(x)= sin(x)/cos(x) orientieren.

Meine Ideen:
Mein Ansatz zum Periodenbeweis:
Aus sin(alpha+180°) = -sin(alpha) und cos(alpha+180°) = -cos(alpha) folgt tan(alpha+180°) = tan(alpha) aber so genau beweisen kann ich das nicht also dass es genau 180° beträgt und nicht kleiner oder größer.
Zum Beweis zur Symmetrie habe ich leider noch keine Ansatz unglücklich

Wäre für eine Antwort/Hilfe sehr dankbar!

14.01.2018, 17:32

Mitleser

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Zitat:

dass es genau 180° beträgt und nicht kleiner oder größer

Ein Gegenargument für "größer" wäre, dass in der Regel mit der Periode einer Funktion ja immer die kleinste Zahl p gemeint ist, für die f(x+p)=f(x) gilt.

Und um das "kleiner" ebenso auszuschließen, könnte man mit den oben von dir angesprochenen Quadrantenbeziehungen argumentieren (notwendige Bedingung an Monotonie, ab wann Funktionswerte sich zwangsweise erst wiederholen können).

Zitat:

Zum Beweis zur Symmetrie

Benutze halt die Standarddefinitionen und prüfe Edit (mY+): Darauf soll Koppi zunächst selbst kommen!

14.01.2018, 17:40

mYthos

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Du darfst ausnützen, dass

$\begin{eqnarray*} \tan x = \frac {\sin x}{\cos x} \end{eqnarray*}$

Dann zeige einfach, dass

$\begin{eqnarray*} \tan (x+\pi) = \frac {\sin (x+\pi)}{\cos (x+\pi)}=\tan x \end{eqnarray*}$

mittels des ersten Additionstheorems.
-------

Welche Bedingung besteht für die Symmetrie einer Funktion? Welche Arten der Symmetrie gibt es?

mY+

14.01.2018, 17:59

Mitleser

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Zitat:

Benutze halt die Standarddefinitionen und prüfe Edit (mY+): Darauf soll Koppi zunächst selbst kommen!

In Ordnung, kein Problem.
Dann bitte ich jedoch darum diese Boardregel (wenn es ein Moderator so festlegt, gehe ich davon aus, dass es hier eine allgemeingültige Regel und keine Willkür ist) auch überall so zu handhaben.
Wir wollen doch fair bleiben, nicht wahr ? smile

14.01.2018, 18:11

Koppi

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Additionstheoreme? Sorry aber noch nie was davon gehört.
--------
Also dann muss man zeigen dass f(-x) = -f(x) oder?

14.01.2018, 18:27

mYthos

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Ja, richtig, für die (Punkt-)Symmetrie bezüglich des Nullpunktes!
----------

$\begin{eqnarray*} \sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \end{eqnarray*}$

Das ist ein Teil der Additionstheoreme! Ist Schulstoff!

mY+

14.01.2018, 18:41

Koppi

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Additionstheoreme haben wir bisher noch nicht behandelt. Gibt es noch eine andere Möglichkeit?
---------
Hmm und wie lässt es sich beweisen? Bzw. mit welchem Ansatz .. Ich komm irgendwie nicht drauf.

14.01.2018, 18:46

mYthos

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@Mitleser

Unser Boardprinzip ist es, den Fragesteller zur Lösung hinzuführen und ihn zu ermuntern, auch eigene Ideen und Recherchen einzubringen.
Anfangs wollen wir noch nicht allzuviel zum Lösungsweg verraten, bis wir besser erkennen, worin das Problem besteht bzw. wo der Fragesteller eigentlich hängt.
Später könnten weitere Hinweise erfolgen.

Wie du siehst, hat Koppi die richtige Bedingung zur Symmetrie herausgefunden, genau das war das Ziel, darum wurde zunächst(!) dein Hinweis entfernt.
Zur "Willkür" bzw. Fairness: Der Moderator hat im Übrigen schon einen gewissen Handlungsspielraum, in dem er sich bewegen kann und welcher nicht unbedingt explizit im Regelwerk angeführt sein muss.
Das hat mit Willkür nichts zu tun und es müsste daher niemand den Moderator auf existente oder nicht existente Boardregeln hinweisen.
Natürlich wird der Moderator die festgeschriebenen Prinzipien wahrnehmen, das ist klar.
Bei deiner Ansicht nach groben Verletzungen schreibe ihm bitte eine PN bzw. eine Beschwerde (ggf. an die Administration).

Gr
mYthos+

14.01.2018, 18:59

mYthos

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Zitat:

Original von Koppi
...
Aus sin(alpha+180°) = -sin(alpha) und cos(alpha+180°) = -cos(alpha) folgt tan(alpha+180°) = tan(alpha)
...

Im Prinzip ist das richtig. Diese Beziehungen gelten ohnnehin nur für GENAU 180° (pi), also musst du etwas anderes gar nicht hinterfragen!

Zu den Additionstheoremen:
Eingesetzt in die Formeln ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \sin (x+\pi) = \sin x \cos \pi + \cos x \sin \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos (x+\pi) = \cos x \cos \pi - \sin x \sin \pi \end{eqnarray*}$

Setze dies nun in den Zähler und Nenner des Bruches für $\begin{eqnarray*} \tan (x+\pi) \end{eqnarray*}$ und zeige, dass sich damit $\begin{eqnarray*} \tan x \end{eqnarray*}$ ergibt.
Damit ist der Beweis erbracht.

Du kannst diese Gesetzmäßigkeit allerdings auch im Einheitskreis erkennen bzw. zeigen.
Auch graphisch geht dies, indem du den Graphen von tan x (aus dem Einheitkreis) erstellst. Dann "sieht" man die Periodenlänge von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (3,1415...) bereits auch schon.

----------

Wie hast du die Symmetrie gezeigt? Geht übrigens auch über den Einheitskreis ...

mY+

14.01.2018, 20:04

IfindU

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Mit den drei Fakten:
$\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ ist ungerade, $\begin{eqnarray*} \sin(x + \frac \pi 2) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ ist gerade.
sollte man auch direkt nachweisen können, dass $\begin{eqnarray*} \sin(x + \pi) = -\sin(x) \end{eqnarray*}$ und (trivialerweise dann auch) $\begin{eqnarray*} \cos(x+\pi) = -\cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Geht also auch ohne Additionstheoreme. Mit viel weniger Informationen kann man es aber wohl nicht nachweisen.

14.01.2018, 20:14

Mitleser

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Genau das hatte der Fragesteller meiner Meinung nach ja schon in seinem eigenen Ansatz richtigerweise getan. Ihm war nur noch nicht klar, wie er für die Eindeutigkeit argumentieren soll, was ich ihm daher beantwortet hatte:

Zitat:

Aus sin(alpha+180°) = -sin(alpha) und cos(alpha+180°) = -cos(alpha) folgt tan(alpha+180°) = tan(alpha) aber so genau beweisen kann ich das nicht also dass es genau 180° beträgt und nicht kleiner oder größer.

14.01.2018, 21:28

mYthos

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Geometrische Anschauung am EK (Einheitskreis):

[attach]46285[/attach]

mY+

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