Konvergenz und Divergenz uneigentlicher Integrale

14.01.2018, 16:26

Whistle23

Konvergenz und Divergenz uneigentlicher Integrale

Zur Vorbereitung auf die Klausur bearbeite ich einige Übungsaufgaben, zu denen ich aber leider keine Lösung habe.

Bei zwei der vier Aufgaben bin ich mir recht unsicher bezüglich der Lösung.

1)
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{2}^{\infty } \! \frac{x^{2} + x + 2}{x^{3} + x^{2} + 1 + x} \, dx \end{eqnarray*}$

Hier kann ich das ganze nach unten abschätzen mit

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} + x + 2}{x^{3} + x^{2} + 1 + x}\geq \frac{x^{2}}{x^{3}} . \end{eqnarray*}$

Bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty }\frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$ divergiert und somit divergiert das Integral nach dem Minorantenkriterium.

2) Gegeben ist $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty } \! \frac{\sqrt{y}-| \sin(y) |}{y^{2}+|\cos(y)| } \, dy \end{eqnarray*}$

Hier vermute ich, dass ich das ganze irgendwie nach oben mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y^{1,5}} \end{eqnarray*}$ abschätzen sollte. Davon weiß ich, dass es konvergiert, sodass ich das Majorantenkriterium anwenden könnte.

3) Gegeben ist $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty } \! \frac{\sqrt{y-1}*\sin(y)}{(y+1)^{2} } \, dy \end{eqnarray*}$

Ebenfalls vermute ich hier die Konvergenz und würde wie in 2) verfahren. Nach oben mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y^{1,5}} \end{eqnarray*}$ abschätzen und das ganze konvergiert nach dem Majorantenkriterium.

4) Gegebn ist $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty } \! \frac{\sqrt{t+1}*(1+\sin^{2}(t))}{t-1} \, dt \end{eqnarray*}$

Hier habe ich versucht das Integral nach unten mit $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty } \! \frac{t^{0,5}}{t} \, dt \end{eqnarray*}$ abzuschätzen, da bekannt ist, dass dieses Integral divergiert. Somit könnte ich also das Minorantenkriterium anwenden.

Sind die Lösungen soweit in Ordnung? Größstes Problem ist für mich immer das Abschätzen. Hier fühle ich mich immer noch unsicher.

Ich freue mich auf eure Antworten! Willkommen

14.01.2018, 16:50

Leopold

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Deine Ideen sind alle richtig. Allerdings mußt du sie jetzt auch in die Tat umsetzen und korrekt abschätzen. Warum gilt zum Beispiel

$\begin{align*} \frac{x^2+x+2}{x^3 + x^2 + 1 + x} \geq \frac{1}{x} \end{align*}$

Auf den ersten Blick könnte das falsch sein. Und es ist hier durchaus wichtig, daß $\begin{align*} x \geq 2 \end{align*}$ vorausgesetzt wird.

14.01.2018, 18:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Whistle23
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} + x + 2}{x^{3} + x^{2} + 1 + x}\geq \frac{x^{2}}{x^{3}} . \end{eqnarray*}$

Die Art des Aufschriebs legt nahe, dass hier schlecht überlegt abgeschätzt wurde - insbesondere in Hinblick auf den Nenner. unglücklich

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