Betrag aus komplexem Bruch

14.01.2018, 21:38	namiqa	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag aus komplexem Bruch Meine Frage: Hallo, ich glaube ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch. Ich versuche den Betrag aus folgendem Bruch zu berechnen. $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+j\omega}-1 \end{eqnarray}$ durch komplexe Konjugation ergibt sich: $\begin{eqnarray} \frac{-\omega^2-j\omega}{1+\omega^2} \end{eqnarray}$ wenn ich nun den Betrag daraus ziehe ergibt sich laut Lösung: $\begin{eqnarray} \frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^2}} \end{eqnarray}$ Edit (mY+): LaTeX-Tags gesetzt. Wie der Zähler zustande kommt ist mir klar. Allerdings frage ich mich wie es zu der Wurzel am Nenner kommt? Meine Ideen: Wenn ich einen Bruch quadriere wird immer der Nenner mit quadriert. Wieso aber nicht in diesem Fall?
14.01.2018, 22:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auch ein wenig crazy, zugegeben, aber die Lösung stimmt. Wenn du richtig und genau rechnest, ist $\begin{eqnarray} z = -\frac{\omega}{1+\omega^2}\cdot(\omega + j) \end{eqnarray}$ Darin sieht man nun den Realt & Imgt recht gut; wir verwenden zunächst $\begin{eqnarray} \|z\|^2 = \Re^2 + \Im^2 \end{eqnarray}$ und ziehen danach die Wurzel. $\begin{eqnarray} \|z\|^2 = \frac{\omega^2 \cdot (1 + \omega^2)}{(1+\omega^2)^2} \end{eqnarray}$ Weil man jetzt noch durch $\begin{eqnarray} (1 + \omega^2) \end{eqnarray}$ kürzen kann, bleibt nach dem Wurzelziehen bei \|z\| die Wurzel im Nenner. mY+
14.01.2018, 22:14	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betrag aus komplexem Bruch Ohne Quadrieren würdest Du z.B. so zur Lösung kommen: $\begin{eqnarray} \left \|\frac{-\omega^2-j\omega}{1+\omega^2} \right \|=\frac{\|-\omega^2-j\omega\|}{\|1+\omega^2\|}= \frac{\|\omega\|}{1+\omega^2}\|\omega+j\|=\frac{\|\omega\|}{1+\omega^2}\sqrt{\omega^2+1} = \frac{\|\omega\|}{\sqrt{1+\omega^2}} \end{eqnarray}$ Edit (mY+): LaTeX-Term berichtigt, denn stattdessen wurde ausschließlich 'misplaced' angezeigt. So etwas wie w² innerhalb LaTeX erzeugt vermutlich das Problem.

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