Grad einer Körpererweiterung berechnen

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Chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »
Grad einer Körpererweiterung berechnen
Meine Frage:
Schönen guten Abend zusammen!

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Sei K Körper mit char(K)=p>0 und sei . Sei eine Nullstelle von f in einem algebraischen Abschluss von K und sei .

(1)Zeigen Sie, dass entweder L=K oder gilt.

(2)Sei nun der Körper mit p Elementen. Zeige dass dann gilt.



Meine Ideen:
Ich habe in einer anderen Aufgabe zuvor schon gezeigt das L/K normal und separabel ist, indem ich mir die Nullstellen von f angeschaut habe, welche genau sind.

zu (2) Da wir wissen das alle Nullstellen von f enthält, welche durch Addition von Elementen aus K zu Alpha entstehen, sollte doch direkt folgen das ist.
Oder auch aus der Tatsache das f das Minpol zu Alpha ist, welche irred. über K ist und den Grad p besitzt.

Zu (1) Unter der Vorrausetzung das char(K)=p>0 ist, ging ich eigentlich schon davon aus das ist oder ein Körper der isomorph zu Fp ist. Deshalb wäre auch dasselbe wie in (2) und ich verstehe nicht wie es zu dem Fall L=K bzw. K(Alpha)=K kommen kann, dann müsste ja Alpha schon in K sein?!? Was habe ich übersehen?

Würde mich sehr über Tipps und Hinweise freuen!
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Oder auch aus der Tatsache das f das Minpol zu Alpha ist, welche irred. über K ist und den Grad p besitzt.

Das ist keine Tatsache, das ist falsch. f ist nicht nozwendig irreduzibel.

Zitat:
Unter der Vorrausetzung das char(K)=p>0 ist, ging ich eigentlich schon davon aus das ist oder ein Körper der isomorph zu Fp ist.

Auch das ist eine komplett irrige Annahme. Es gibt unendlich viele Körper der Charakteristik p, wieso sollte es gerade dieser spezielle sein?

Zitat:
Was habe ich übersehen?

Dass z.B. K algebraisch abgeschlossen sein kann.

Zitat:
davon aus das ist oder ein Körper der isomorph zu Fp ist.

In der Algebra betrachtet man praktisch immer die Objekte nur bis auf Isomorphie.
Chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für die sinnlosen Behauptungen, bin noch ganz am Anfang des Themas und habe hier irgendwie einiges durcheinander geworfen...

Dennoch wenn wir (2) betrachten und somit den Körper Fp, gibt es dann überhaupt eine Möglichkeit ein Minimalpolynom zu Alpha zu bestimmen? Oder gibt es eine Möglichkeit anhand der Tatsachen das es sich um eine normale und separable Körpererweiterung handelt, Aussagen über den Grad zu treffen, denn dies wäre mir bisher unbekannt.



zu (1):
Du sagst also, es wäre eine Alternative das K algebraisch abgeschlossen ist. Dann wäre ja genau L=K oder nicht? Da dann ja Alpha bereits in K enthalten wäre und somit auch alle anderen Nst. von f.
Und dann wäre somit der 2.Fall das K nicht algebraisch abgeschlossen ist und somit bleibt zu zeigen das die Erweiterung den Grad p hat. Dies würde mich zur selben Frage wie bei (2) bringen. Jedoch müsste es doch irgendwie möglich sein mit den im Körper enthaltenen Nullstellen des gegebenen Polynoms f zu argumentieren oder nicht?

Würde mich über weitere Hilfe/Hinweise sehr freuen!
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