Blockmatrix

15.01.2018, 08:04	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
Blockmatrix Hallo, ich habe 2 Blockmatrizen gegeben $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bestehend aus Matrizen $\begin{eqnarray} A_{ij} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_{jk} \end{eqnarray}$ , wobei die Anzahl der Spalten von $\begin{eqnarray} A_{ij} \end{eqnarray}$ gleich der Anzahl der Zeilen von $\begin{eqnarray} B_{jk} \end{eqnarray}$ sei. Man zeige: $\begin{eqnarray} A \cdot B = (A_{i1} \cdot B_{1k} + A_{i2} \cdot B_{2k})_{i=1,2k=1,2} \end{eqnarray}$ Kann mir vllt jmd einen Tipp geben, wie ich das machen kann
16.01.2018, 12:50	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also erstmal ist, da es sich hier um eine mit Indexkalkül zu beweisende Aussage handelt, die Notation ungünstig gewählt (seitens des Aufgabenstellers). Ich würde das ganze mal umformulieren zu $\begin{eqnarray} X=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Y=\begin{pmatrix} E & F \\ G & H \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun sagen wir mal, $\begin{eqnarray} A, E \in K^{m\times m} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} D, H \in K^{n\times n} \end{eqnarray}$ , und die anderen Matrizen seien passend dimensioniert. Dann kann man als nächstes die Beziehungen zwischen den Matrixeinträgen herausstellen (hier für X, für Y geht das entsprechend analog): $\begin{eqnarray} x_{ij} = \begin{cases} a_{ij}, \;\quad\qquad i, j \leq m \\ b_{(i-m),j},\qquad i>m, j\leq m \\ c_{i,(j-m)}, \qquad i\leq m, j>m \\ d_{(i-m),(j-m)}, \quad i, j > m \end{cases}. \end{eqnarray}$ Auch die Behauptung $\begin{eqnarray} XY=\begin{pmatrix} AE+BG & AF+BH \\ CE+DG & CF+BH \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann man entsprechend in vier Fälle aufteilen. Nun weiß man ja gemäß der Matrix-Multiplikationsformel: $\begin{eqnarray} XY = \left(\sum_{k=1}^{m+n} x_{ik}y_{kj}\right)_{i,j=1}^{m+n} \end{eqnarray}$ . Wenn man sich hier nacheinander die vier Fälle aus der obigen Fallunterscheidung vornimmt und die $\begin{eqnarray} x_{ik},y_{kj} \end{eqnarray}$ entsprechend einsetzt, erhält man die Behauptung. LG sibelius84
16.01.2018, 13:26	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Sibelius. Die Indizes sind für mich leider noch verwirrend. Kannst du vllt einen Fall mal vormachen, damit ich sehe wie das gehen soll bitte
16.01.2018, 20:13	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Seien i,j<=m. Dann gilt $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{m+n}x_{ik}y_{kj} = \sum_{k=1}^{m}x_{ik}y_{kj} + \sum_{k=m+1}^{m+n}x_{ik}y_{kj} = \sum_{k=1}^{m}a_{ik}e_{kj} + \sum_{k=m+1}^{m+n}b_{i,(k-m)}g_{(k-m),j} = \sum_{k=1}^{m}a_{ik}e_{kj} + \sum_{k=1}^{n}b_{ik}g_{kj} \end{eqnarray}$ , also ist der betrachtete Eintrag von XY gerade gleich dem entsprechenden Eintrag von AE+BG.
17.01.2018, 22:39	Andreas500	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir. Ich habe es verstanden

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