externe Summe

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15.01.2018, 14:30	Hendrik32	Auf diesen Beitrag antworten »
externe Summe Hallo, es geht um das Verständnis der externen direkten Summe: Sei $\begin{eqnarray} V= \prod_{i=1}^r V_i \end{eqnarray}$ ein K-VR. dann ist $\begin{eqnarray} V'_i=\{(0,0,0,....,v_i,0,0,...,0):v_i \in V_i \} \subset V \end{eqnarray}$ ein lin UR von V und V die direkte Summe der V_'i. Die Abbildung $\begin{eqnarray} a: V_i \rightarrow V'_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v \rightarrow (0,0,0,....,v_i,0,0,...,0) \end{eqnarray}$ ist bijektiv und respketiert die VR auf $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V'_i. \end{eqnarray}$ Somit kann man $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_i:V_i=V'_i \end{eqnarray}$ identifizieren. Was ist jetzt der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V'_i \end{eqnarray}$ Kann mir das jmd erklären?
15.01.2018, 16:25	Hendrik32	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: externe Summe Kann niemand was dazu sagen?
15.01.2018, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ den Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ enthält, dann enthält $\begin{eqnarray} V_i' \end{eqnarray}$ den Vektor $\begin{eqnarray} (0,...,0,v,0,...,0) \end{eqnarray}$ . Für mich sieht das sehr unterschiedlich aus. Siehst du wirklich keinen Unterschied ?
15.01.2018, 18:40	Hendrik32	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vllt jetzt: D.h $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ enthält den Vektor v, $\begin{eqnarray} V'_i \end{eqnarray}$ enthält v als Komponente. Kannst du mir erklären, was das für einen Sinn hat, vllt ein Beispiel
15.01.2018, 19:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorräume sind leichter zu verstehen als die meisten anderen algebraischen Strukturen, das ist auch der Grund, warum ein Mathematikstudium mit Lineare Algebra beginnt. Vektorräume treten in der Mathematik in allen Theorien und im täglichen Leben überall auf, und sie machen oft auch die schwierigsten Probleme lösbar. Es genügt nicht, eine mathematische Theorie mittels einiger Definitionen und Sätze zu studieren, man benötigt auch möglichst viele Beispiele, damit man irgendwann versteht, wie die Dinge funktionieren. Deshalb besorgt man sich zu Anfang ein paar simple Beispiele für Vektorräume (Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssytems, Lösungsraum einer homogenen linearen Rekursion, Abbildungsräume, Folgenräume, Polynomräume, Körper und deren Potenzen, Matrizen, Translationen, Dualraum, ...). Damit das nicht zu simpel wird, baut man sich richtig viele Vektorräume als Untervektorräume, Summen, Produkte, Tensorräume, ...) und studiert reichere Vektorräume für mathematische und naturwissenschaftliche Theorien (topologische Vektorräume, normierte Vektorräume, Skalarprodukträume, Banachräume, Hilberträume, ...). Oder willst du nur ein triviales Beispiel für einen Produktraum ? $\begin{eqnarray} \mathbb Q\times \mathbb R^2\times \mathbb C^3\times \mathbb Q_{17}^5 \end{eqnarray}$ als Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ (wozu das gut ist, weiß ich auch nicht, aber es geht).
15.01.2018, 19:33	Hendrik32	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Ich würde bitte ein Beispiel haben für V_i und einmal V'_i. Damit ich dann diese abbildung a nachvollziehen kann und dann die direkte Summe.
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15.01.2018, 19:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel Phantasie scheinst du ja nicht zu haben. Im Beispiel $\begin{eqnarray} \mathbb Q\times \mathbb R^2\times \mathbb C^3\times \mathbb Q_{17}^5 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} V_2=\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V_2'=\{(0,(x,y),\vec 0,0):x,y\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ .
15.01.2018, 20:35	Hendrik32	Auf diesen Beitrag antworten »
aha ok Und was macht dann die Abbildung a und wie kommt die direkte Summe zustande?
15.01.2018, 22:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gebe auf.
15.01.2018, 23:09	Hendrik32	Auf diesen Beitrag antworten »
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